Gọi \(\left( C \right)\) là đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 7}}{{x + 1}}\), \(A,B\) là các điểm thuộc
Gọi \(\left( C \right)\) là đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 7}}{{x + 1}}\), \(A,B\) là các điểm thuộc \(\left( C \right)\) có hoành độ lần lượt là 0 và 3. \(M\) là điểm thay đổi trên \(\left( C \right)\) sao cho \(0 < {x_M} < 3\), tìm giá trị lớn nhất của diện tích \(\Delta ABM\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Gọi tọa độ điểm \(M\) thuộc đồ thị hàm số.
- Tính khoảng cách từ \(M\) đến \(AB\) suy ra diện tích.
- Từ đó sử dụng phương pháp hàm số tìm GTLN của diện tích tam giác \(ABM\).
Ta có: \(A\left( {0; - 7} \right),B\left( {3; - 1} \right)\) \( \Rightarrow AB = 3\sqrt 5 \).
Phương trình đường thẳng \(AB:\dfrac{{x - 0}}{{3 - 0}} = \dfrac{{y + 7}}{{ - 1 + 7}} \Leftrightarrow 2x - y - 7 = 0\).
Gọi \(M\left( {{x_M};\dfrac{{{x_M} - 7}}{{{x_M} + 1}}} \right) \in \left( C \right)\) với \(0 < {x_M} < 3\)
\( \Rightarrow d\left( {M,AB} \right) = \dfrac{{\left| {2{x_M} - \dfrac{{{x_M} - 7}}{{{x_M} + 1}} - 7} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }}\) \( = \dfrac{{\left| {2{x_M} - 8 + \dfrac{8}{{{x_M} + 1}}} \right|}}{{\sqrt 5 }}\)
\( \Rightarrow {S_{MAB}} = \dfrac{1}{2}AB.d\left( {M,AB} \right)\) \( = \dfrac{1}{2}.3\sqrt 5 .\dfrac{{\left| {2{x_M} - 8 + \dfrac{8}{{{x_M} + 1}}} \right|}}{{\sqrt 5 }}\) \( = 3\left| {{x_M} - 4 + \dfrac{4}{{{x_M} + 1}}} \right|\)
Xét \(g\left( {{x_M}} \right) = {x_M} - 4 + \dfrac{4}{{{x_M} + 1}}\) với \(0 < {x_M} < 3\) ta có:
\(g'\left( {{x_M}} \right) = 1 - \dfrac{4}{{{{\left( {{x_M} + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{{\left( {{x_M} + 1} \right)}^2} - 4}}{{{{\left( {{x_M} + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{\left( {{x_M} + 3} \right)\left( {{x_M} - 1} \right)}}{{{{\left( {{x_M} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x_M} = 1\)
Bảng biến thiên:
Do đó \( - 1 \le g\left( {{x_M}} \right) < 0 \Rightarrow 0 < \left| {g\left( x \right)} \right| \le 1\) \( \Rightarrow {S_{MAB}} = 3.\left| {g\left( {{x_M}} \right)} \right| \le 3.1 = 3\).
Vậy \({S_{MAB}}\) đạt GTLN bằng \(3\) tại \({x_M} = 1\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
