Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}.\) Biết hàm số

Câu hỏi số 330107:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}.\) Biết hàm số \(f'\left( x \right)\) có đồ thị được cho trong hình vẽ. Tìm điều kiện của \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{{2019}^x}} \right) - mx + 2\) đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right]\).

A. \(m \le 0\)

B. \(m \le \ln 2019\)

C. \(0 < m < \ln 2019\)

D. \(m > \ln 2019\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:330107

Phương pháp giải

Sử dụng công thức đạo hàm \({\left( {f\left( u \right)} \right)^\prime } = u'f'\left( u \right)\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(K\) thì hàm số đồng biến trên \(K\) khi \(f'\left( x \right) \ge 0;\forall x \in K\) (dấu = xảy ra

tại hữu hạn điểm)

Dựa vào đồ thị để đánh giá khoảng đồng biến của hàm \(f'\left( x \right)\) từ đó suy ra hàm \(g'\left( x \right).\)

Giải chi tiết

Ta có \(g'\left( x \right) = {2019^x}.\ln 2019.f'\left( {{{2019}^x}} \right) - m\)

Để hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right]\) thì \(g'\left( x \right) \ge 0;\forall x \in \left[ {0;1} \right] \Leftrightarrow {2019^x}.\ln 2019.f'\left( {{{2019}^x}} \right) - m \ge 0\)

\( \Leftrightarrow m \le {2019^x}.\ln 2019.f'\left( {{{2019}^x}} \right)\) với mọi \(x \in \left[ {0;1} \right]\)

Đặt \(h\left( x \right) = {2019^x}.\ln 2019.f'\left( {{{2019}^x}} \right)\) thì \(m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} h\left( x \right)\)

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta xét trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) thì \({2019^x} \in \left[ {1;2019} \right] \Rightarrow f'\left( {{{2019}^x}} \right) \ge 0\) và \(f'\left( {{{2019}^x}} \right)\) đồng biến .

Lại có \({2019^x}\) đồng biến và dương trên \(\left[ {0;1} \right]\)

Nên \(h\left( x \right) = {2019^x}\ln 2019.f'\left( {{{2019}^x}} \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right]\)

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} h\left( x \right) = h\left( 0 \right) = {2019^0}.\ln 2019.f'\left( {{{2019}^0}} \right) = \ln 2019.f'\left( 1 \right) = 0\) (vì theo hình vẽ thì \(f'\left( 1 \right) = 0\))

Vậy \(m \le 0.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.