Sử dụng mảnh inox hình chữ nhật \(ABCD\) có diện tích bằng \(1{m^2}\) và cạnh \(BC = x\left( m

Câu hỏi số 330102:

Vận dụng

Sử dụng mảnh inox hình chữ nhật \(ABCD\) có diện tích bằng \(1{m^2}\) và cạnh \(BC = x\left( m \right)\) để làm một thùng đựng nước có đáy, không có nắp theo quy trình như sau: Chia hình chữ nhật \(ABCD\) thành hai hình chữ nhật \(ADNM\) và \(BCNM\), trong đó phần hình chữ nhật \(ADNM\) được gò thành phần xung quanh hình trụ có chiều cao bằng \(AM,\) phần hình chữ nhật \(BCNM\) được cắt ra một hình tròn để làm đáy của hình trụ trên (phần inox còn thừa được bỏ đi). Tính gần đúng giá trị \(x\) để thùng nước trên có thể tích lớn nhất (coi như các mép nối không đáng kể).

A. \(1,37m\)

B. \(1,02m\)

C. \(0,97m\)

D. \(1m\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:330102

Phương pháp giải

Thể tích hình trụ có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\) là \(V = \pi {r^2}h\)

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm GTLN của thể tích.

Cho ba số \(a,b,c\) không âm, theo BĐT Cô –si ta có \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}} \Leftrightarrow abc \le {\left( {\dfrac{{a + b + c}}{3}} \right)^3}\)

Dấu = xáy ra khi \(a = b = c.\)

Giải chi tiết

Vì \({S_{ABCD}} = AB.BC \Rightarrow AB = \dfrac{1}{x}\left( m \right)\)

Gọi \(r\) là bán kính đáy của hình trụ thì chu vi đáy của hình trụ là \(2\pi r = x \Leftrightarrow r = \dfrac{x}{{2\pi }}\left( m \right)\)

Gọi \(AM = y\left( {0 < y < \dfrac{1}{x}} \right)\) suy ra \(BM = \dfrac{1}{x} - y\)

Lại có đường kính đáy hình trụ là \(2r = BM \Leftrightarrow 2.\dfrac{x}{{2\pi }} = \dfrac{1}{x} - y \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{x} - \dfrac{x}{\pi }\,\left( m \right)\)

(ĐK : \(\dfrac{1}{x} - \dfrac{x}{\pi } > 0 \Rightarrow 0 < x < \pi \))

Thể tích thùng nước hình trụ là \(V = \pi {r^2}h = \pi {\left( {\dfrac{x}{{2\pi }}} \right)^2}.y = \pi {\left( {\dfrac{x}{{2\pi }}} \right)^2}.\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{x}{\pi }} \right)\)

\( = \pi .\dfrac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}\dfrac{{\pi - {x^2}}}{{x\pi }} = \dfrac{1}{{4{\pi ^2}}}.x\left( {\pi - {x^2}} \right) = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 {\pi ^2}}}\sqrt {2{x^2}.\left( {\pi - {x^2}} \right)\left( {\pi - {x^2}} \right)} \)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số \(2x;\left( {\pi - {x^2}} \right);\left( {\pi - {x^2}} \right)\) ta có

\(2x.\left( {\pi - {x^2}} \right).\left( {\pi - {x^2}} \right) \le {\left( {\dfrac{{2x + \left( {\pi - {x^2}} \right) + \left( {\pi - {x^2}} \right)}}{3}} \right)^3} = {\left( {\dfrac{{2\pi }}{3}} \right)^3} = \dfrac{{8{\pi ^3}}}{{27}}\)

Suy ra \(V \le \dfrac{1}{{2\sqrt 2 {\pi ^2}}}.\sqrt {\dfrac{{8{\pi ^3}}}{{27}}} \Leftrightarrow V \le \dfrac{1}{{3\sqrt {3\pi } }}\)

Dấu = xáy ra khi \(2{x^2} = \pi - {x^2} \Leftrightarrow 3{x^2} = \pi \Rightarrow x = \sqrt {\dfrac{\pi }{3}} \) (vì \(x > 0\))

Vậy thùng nước có thể tích lớn nhất khi \(x = \sqrt {\dfrac{\pi }{3}} \approx 1,02\left( m \right)\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.