Nếu biết \(3{\sin ^4}x + 2{\cos ^4}x = \dfrac{{98}}{{81}}\) thì giá trị của biểu thức \(A = 2{\sin ^4}x +

Câu hỏi số 331599:

Vận dụng cao

Nếu biết \(3{\sin ^4}x + 2{\cos ^4}x = \dfrac{{98}}{{81}}\) thì giá trị của biểu thức \(A = 2{\sin ^4}x + 3{\cos ^4}x\) bằng:

A. \(\dfrac{{101}}{{81}}\) hoặc \(\dfrac{{601}}{{504}}\)

B. \(\dfrac{{103}}{{81}}\) hoặc \(\dfrac{{603}}{{405}}\)

C. \(\dfrac{{105}}{{81}}\) hoặc \(\dfrac{{605}}{{504}}\)

\(\dfrac{{107}}{{81}}\) hoặc \(\dfrac{{60}}{{405}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:331599

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,3{\sin ^4}x + 2{\cos ^4}x = \dfrac{{98}}{{81}}\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^4}x + 3{\cos ^4}x + {\sin ^4}x - {\cos ^4}x = \dfrac{{98}}{{81}}\\ \Leftrightarrow A = \dfrac{{98}}{{81}} - \left( {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right)\end{array}\)

Ta có: \({\sin ^4}x - {\cos ^4}x = \left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = - \cos 2x\)

\( \Rightarrow A = \dfrac{{98}}{{81}} + \cos 2x \Rightarrow \cos 2x = A - \dfrac{{98}}{{81}}\) (1)

Ta lại có: \(3{\sin ^4}x + 2{\cos ^4}x + 2{\sin ^4}x + 3{\cos ^4}x = 5\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) = A + \dfrac{{98}}{{81}}\).

Mà \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)

\( = 1 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x = 1 - \dfrac{1}{2}\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}{\cos ^2}2x\)

\( \Rightarrow 5\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}{{\cos }^2}2x} \right) = \dfrac{{98}}{{81}} + A\) (2)

Thay (1) vào (2) ta có :

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 5\left[ {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}{{\left( {A - \dfrac{{98}}{{81}}} \right)}^2}} \right] = \dfrac{{98}}{{81}} + A\\ \Leftrightarrow \dfrac{5}{2}\left( {1 + {{\left( {A - \dfrac{{98}}{{81}}} \right)}^2}} \right) = A - \dfrac{{98}}{{81}} + \dfrac{{196}}{{81}}\end{array}\)

Đặt \(t = A - \dfrac{{98}}{{81}}\) ta có \(\dfrac{5}{2}\left( {1 + {t^2}} \right) = t + \dfrac{{196}}{{81}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{13}}{{45}}\\t = \dfrac{1}{9}\end{array} \right.\)

Với \(t = \dfrac{{13}}{{45}} \Rightarrow A = \dfrac{{13}}{{45}} + \dfrac{{98}}{{81}} = \dfrac{{607}}{{405}}\)

Với \(t = \dfrac{1}{9} \Rightarrow A = \dfrac{1}{9} + \dfrac{{98}}{{81}} = \dfrac{{107}}{{81}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10