Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z - 14 = 0\) và mặt cầu \(\left( S

Câu hỏi số 332126:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z - 14 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0\). Gọi tọa độ điểm \(M(a;\,\,b;\,\,c)\) thuộc mặt cầu \((S)\) sao cho khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \((P)\) là nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức \(K = a + b + c.\)

A. \(K = - 2.\)

B. \(K = - 5.\)

C. \(K = 2.\)

D. \(K = 1.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:332126

Phương pháp giải

+ Tìm tâm và bán kính của mặt cầu

+ Xác định vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu để suy ra vị trí của điểm \(M\)

+ Tìm tọa độ của đường thẳng và mặt cầu thì ta giải hệ phương trình gồm phương trình đường thẳng và phương trình mặt cầu.

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2; - 1} \right);R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} - \left( { - 3} \right)} = 3\)

Xét \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - \left( { - 2} \right) + 2\left( { - 1} \right) - 14} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 4 > R = 3\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) không cắt mặt cầu \(\left( S \right).\)

Khi đó điểm \(M\) thuộc mặt cầu \((S)\) sao cho khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \((P)\) là nhỏ nhất thì \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) đi qua \(I\), nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {2; - 1;2} \right)\) làm VTCP với mặt cầu.

Phương trình đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 - t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\)

Tọa độ giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) thỏa mãn hệ phương trình

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 - t\\z = - 1 + 2t\\{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {\left( {1 + 2t} \right)^2} + {\left( { - 2 - t} \right)^2} + {\left( { - 1 + 2t} \right)^2} - 2\left( {1 + 2t} \right) + 4\left( { - 2 - t} \right) + 2\left( { - 1 + 2t} \right) - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 9{t^2} - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 \Rightarrow M\left( {3; - 3;1} \right)\\t = - 1 \Rightarrow M\left( { - 1; - 1; - 3} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Với \(M\left( {3; - 3;1} \right) \Rightarrow d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.3 - \left( { - 3} \right) + 2.1 - 14} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 1\)

Với \(M\left( { - 1; - 1; - 3} \right) \Rightarrow d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) - \left( { - 1} \right) + 2.\left( { - 3} \right) - 14} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 7\)

Nên điểm cần tìm là \(M\left( {3; - 3;1} \right) \Rightarrow a + b + c = 3 + \left( { - 3} \right) + 1 = 1.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.