Biết \(\int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}dx} = \dfrac{a}{{e + 1}} + b\ln \dfrac{2}{{e

Câu hỏi số 332262:

Thông hiểu

Biết \(\int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}dx} = \dfrac{a}{{e + 1}} + b\ln \dfrac{2}{{e + 1}} + c\), với \(a,b,c \in \mathbb{Z}\). Tính \(a + b + c\).

A. -1

B. 1

C. 3

D. 2

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:332262

Phương pháp giải

Sử dụng công thức từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = u\left. v \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \) .

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}dx} = - \int\limits_1^e {\ln xd\left( {\dfrac{1}{{1 + x}}} \right)} = - \left. {\dfrac{{\ln x}}{{x + 1}}} \right|_1^e + \int\limits_1^e {\dfrac{1}{{1 + x}}d\left( {\ln x} \right)} = - \dfrac{1}{{e + 1}} + \int\limits_1^e {\dfrac{1}{{1 + x}}.\dfrac{1}{x}dx} \\ = - \dfrac{1}{{e + 1}} + \int\limits_1^e {\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{1 + x}}} \right)dx} = - \dfrac{1}{{e + 1}} + \left. {\left( {\ln \left| x \right| - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_1^e = - \dfrac{1}{{e + 1}} + \left( {1 - \ln \left( {e + 1} \right) + \ln 2} \right)\\ = - \dfrac{1}{{e + 1}} + \ln \dfrac{2}{{e + 1}} + 1 \Rightarrow a = - 1;b = 1;\,c = 1 \Rightarrow a + b + c = 1.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.