Hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật. Tam giác \(SAB\) là tam giác đều cạnh \(a.\)

Câu hỏi số 332671:

Vận dụng

Hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật. Tam giác \(SAB\) là tam giác đều cạnh \(a.\) Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc với mặt đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) bằng:

A. \(a\)

B. \(\dfrac{a}{2}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:332671

Phương pháp giải

Ta sử dụng kiến thức \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot \left( Q \right)\\\left( P \right) \cap \left( Q \right) = a\\a \bot d,a \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \left( Q \right)\) để tìm chiều cao hình chóp

Chỉ ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) rồi xác định đoạn vuông góc chung của \(SA\) và \(BC.\)

Từ đó khoảng cách giữa \(SA\) và \(BC\) là đoạn \(BK\) với \(BK \bot SA\) tại \(K.\)

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm đoạn \(AB\). Khi đó \(SH \bot AB\) (do tam giác \(SAB\) đều)

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\,\left( {gt} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BA\\SH \bot AB\left( {cmt} \right);\,SH \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot BC\)

Mà \(BC \bot AB\) (do \(ABCD\) là hình vuông) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)

Trong tam giác \(SAB\), lấy \(K\) là trung điểm \(SA \Rightarrow BK \bot SA\) (do tam giác \(SAB\) đều)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot BK\left( {do\,BC \bot \left( {SAB} \right)} \right)\\BK \bot SA\end{array} \right.\) nên \(BK\) là đoạn vuông góc chung của \(SA\) và \(BC\)

Mà \(BK\) là đường trung tuyến trong tam giác \(SAB\) đều cạnh \(a\) nên \(BK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Hay khoảng cách giữa \(SA\) và \(BC\) là \(BK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.