Cho đường tròn \(\left( O \right)\), dây BC cố định. Trên cung lớn BC của \(\left( O \right)\), lấy

Câu hỏi số 333241:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\), dây BC cố định. Trên cung lớn BC của \(\left( O \right)\), lấy điểm A \(\left( {A \ne B,A \ne C} \right)\) sao cho \(AB < AC\). Hai tiếp tuyến qua B và C của \(\left( O \right)\) cắt nhau tại E.

1) Chứng minh tứ giác BOCE nội tiếp.

2) AE cắt \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai D \(\left( {D \ne A} \right)\). Chứng minh \(E{B^2} = ED.EA\).

3) Gọi F là trung điểm của AD. Đường thẳng qua D song song với EC cắt BC tại G. Chứng minh GF song song với AC.

4) Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho \(AH = AC\). Chứng minh khi điểm A thay đổi trên cung lớn BC thì điểm H di động trên một đường tròn cố định.

Xem lời giải

Câu hỏi:333241

Phương pháp giải

1) Chứng minh BOCE là tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^o}\)

2) Chứng minh hai tam giác chứa các cạnh trong hệ thức đồng dạng từ đó suy ra đpcm

3) Chứng minh F thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác BOCE \( \Rightarrow \) Tứ giác BFGD nội tiếp \( \Rightarrow \angle DFG = \angle DAC\)

\( \Rightarrow \) đpcm.

4) Gọi I là điểm chính giữa cung lớn BC. Chứng minh \(\angle IBC = \angle ICB = \angle IAC = IAH\) \( \Rightarrow \Delta IAC = \Delta IAH\) (c.g.c) \( \Rightarrow IH = IC = const\)

Giải chi tiết

1) Chứng minh tứ giác BOCE nội tiếp.

Ta có BE và CE là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) lần lượt tại B và C

\( \Rightarrow \angle OBE = \angle OCE = {90^o}\) (tính chất tiếp tuyến)

Xét tứ giác BOCE có:

\(\angle OBE + \angle OCE = {90^o} + {90^o} = {180^o}\)

Mà 2 góc đó là hai góc đối nhau

\( \Rightarrow \) Tứ giác BOCE nội tiếp (dhnb).

2) AE cắt \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai D \(\left( {D \ne A} \right)\). Chứng minh \(E{B^2} = ED.EA\).

Xét \(\Delta EBD\) và \(\Delta EAB\) có:

\(\angle E\,\,\,chung\)

\(\angle EBD = \angle EAB\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BD)

\( \Rightarrow \Delta EBD \sim \Delta EAB\,\,\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{ED}}{{EB}} = \frac{{EB}}{{EA}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\( \Rightarrow \,E{B^2} = ED.EA\,\,\left( {dpcm} \right).\)

3) Gọi F là trung điểm của AD. Đường thẳng qua D song song với EC cắt BC tại G. Chứng minh GF song song với AC.

Ta có F là trung điểm của AD

\( \Rightarrow OF \bot AD\) (quan hệ giữa bán kính và dây cung)

\( \Rightarrow \angle OFE = {90^o} \Rightarrow \angle OFE = \angle OBE = \angle OCE = {90^o}\)

\( \Rightarrow \) F thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác BOCE.

\( \Rightarrow \angle BFE = \angle BCE\) (góc nội tiếp chắn cung BE)

Ta có \(GD//CE\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle BCE = \angle BGD\) (hai góc đồng vị)

\( \Rightarrow \angle BFE = \angle BGD\) hay \(\angle BFD = \angle BGD\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác BFGD nội tiếp (dhnb).

\( \Rightarrow \angle DFG = \angle DBC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DG)

Dễ thấy tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \angle DBC = \angle DAC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DC)

\( \Rightarrow \angle DFG = \angle DAC\,\,\,\left( { = \angle DBC} \right).\)

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị \( \Rightarrow FG//AC\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

4) Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho \(AH = AC\). Chứng minh khi điểm A thay đổi trên cung lớn BC thì điểm H di động trên một đường tròn cố định.

Gọi I là điểm chính giữa cung lớn BC

\( \Rightarrow \) I cố định và \(\angle IBC = \angle ICB\) (1)

Dễ thấy tứ giác ABCI nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \angle IBC = \angle IAC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IC) (2)

Mặt khác \(\angle ICB + \angle IAB = {180^o}\) (tứ giác ABCI nội tiếp)

Mà \(\angle IAH + \angle IAB = {180^o}\) (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \angle ICB = \angle IAH\) (cùng bù với \(\angle IAB\)) (3)

Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow \angle IAC = \angle IAH\)

Xét \(\Delta IAC\) và \(\Delta IAH\) có:

\(IA\,\,chung\)

\(\begin{array}{l}\angle IAC = \angle IAH\,\,\,\left( {cmt} \right)\\AC = AH\,\,\,\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta IAC = \Delta IAH\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\\ \Rightarrow IH = IC = const\end{array}\)

Vậy H thuộc đường tròn \(\left( {I;\,\,IC} \right).\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.