Cho đường tròn \(\left( O \right)\), dây BC cố định. Trên cung lớn BC của \(\left( O \right)\), lấy
Cho đường tròn \(\left( O \right)\), dây BC cố định. Trên cung lớn BC của \(\left( O \right)\), lấy điểm A \(\left( {A \ne B,A \ne C} \right)\) sao cho \(AB < AC\). Hai tiếp tuyến qua B và C của \(\left( O \right)\) cắt nhau tại E.
1) Chứng minh tứ giác BOCE nội tiếp.
2) AE cắt \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai D \(\left( {D \ne A} \right)\). Chứng minh \(E{B^2} = ED.EA\).
3) Gọi F là trung điểm của AD. Đường thẳng qua D song song với EC cắt BC tại G. Chứng minh GF song song với AC.
4) Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho \(AH = AC\). Chứng minh khi điểm A thay đổi trên cung lớn BC thì điểm H di động trên một đường tròn cố định.
Quảng cáo
1) Chứng minh BOCE là tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^o}\)
2) Chứng minh hai tam giác chứa các cạnh trong hệ thức đồng dạng từ đó suy ra đpcm
3) Chứng minh F thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác BOCE \( \Rightarrow \) Tứ giác BFGD nội tiếp \( \Rightarrow \angle DFG = \angle DAC\)
\( \Rightarrow \) đpcm.
4) Gọi I là điểm chính giữa cung lớn BC. Chứng minh \(\angle IBC = \angle ICB = \angle IAC = IAH\) \( \Rightarrow \Delta IAC = \Delta IAH\) (c.g.c) \( \Rightarrow IH = IC = const\)
1) Chứng minh tứ giác BOCE nội tiếp.
Ta có BE và CE là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) lần lượt tại B và C
\( \Rightarrow \angle OBE = \angle OCE = {90^o}\) (tính chất tiếp tuyến)
Xét tứ giác BOCE có:
\(\angle OBE + \angle OCE = {90^o} + {90^o} = {180^o}\)
Mà 2 góc đó là hai góc đối nhau
\( \Rightarrow \) Tứ giác BOCE nội tiếp (dhnb).
2) AE cắt \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai D \(\left( {D \ne A} \right)\). Chứng minh \(E{B^2} = ED.EA\).
Xét \(\Delta EBD\) và \(\Delta EAB\) có:
\(\angle E\,\,\,chung\)
\(\angle EBD = \angle EAB\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BD)
\( \Rightarrow \Delta EBD \sim \Delta EAB\,\,\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{ED}}{{EB}} = \frac{{EB}}{{EA}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\( \Rightarrow \,E{B^2} = ED.EA\,\,\left( {dpcm} \right).\)
3) Gọi F là trung điểm của AD. Đường thẳng qua D song song với EC cắt BC tại G. Chứng minh GF song song với AC.
Ta có F là trung điểm của AD
\( \Rightarrow OF \bot AD\) (quan hệ giữa bán kính và dây cung)
\( \Rightarrow \angle OFE = {90^o} \Rightarrow \angle OFE = \angle OBE = \angle OCE = {90^o}\)
\( \Rightarrow \) F thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác BOCE.
\( \Rightarrow \angle BFE = \angle BCE\) (góc nội tiếp chắn cung BE)
Ta có \(GD//CE\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle BCE = \angle BGD\) (hai góc đồng vị)
\( \Rightarrow \angle BFE = \angle BGD\) hay \(\angle BFD = \angle BGD\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác BFGD nội tiếp (dhnb).
\( \Rightarrow \angle DFG = \angle DBC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DG)
Dễ thấy tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\)
\( \Rightarrow \angle DBC = \angle DAC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DC)
\( \Rightarrow \angle DFG = \angle DAC\,\,\,\left( { = \angle DBC} \right).\)
Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị \( \Rightarrow FG//AC\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)
4) Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho \(AH = AC\). Chứng minh khi điểm A thay đổi trên cung lớn BC thì điểm H di động trên một đường tròn cố định.
Gọi I là điểm chính giữa cung lớn BC
\( \Rightarrow \) I cố định và \(\angle IBC = \angle ICB\) (1)
Dễ thấy tứ giác ABCI nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\)
\( \Rightarrow \angle IBC = \angle IAC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IC) (2)
Mặt khác \(\angle ICB + \angle IAB = {180^o}\) (tứ giác ABCI nội tiếp)
Mà \(\angle IAH + \angle IAB = {180^o}\) (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \angle ICB = \angle IAH\) (cùng bù với \(\angle IAB\)) (3)
Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow \angle IAC = \angle IAH\)
Xét \(\Delta IAC\) và \(\Delta IAH\) có:
\(IA\,\,chung\)
\(\begin{array}{l}\angle IAC = \angle IAH\,\,\,\left( {cmt} \right)\\AC = AH\,\,\,\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta IAC = \Delta IAH\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\\ \Rightarrow IH = IC = const\end{array}\)
Vậy H thuộc đường tròn \(\left( {I;\,\,IC} \right).\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
