Cho ba số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}\). Tìm giá trị nhỏ

Câu hỏi số 333242:

Vận dụng cao

Cho ba số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(K = \frac{{a + b}}{{2a - b}} + \frac{{c + b}}{{2c - b}}\).

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:333242

Phương pháp giải

+) Chia cả tử và mẫu của K cho b, thay \(\frac{1}{b} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{c}} \right)\) và để rút gọn.

+) Áp dụng BĐT Cô-si để tìm \({K_{\min }}.\)

Giải chi tiết

Với \(a,b,c > 0\). Thay \(\frac{1}{b} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{c}} \right)\), ta có:

\(\begin{array}{l}K = \frac{{a + b}}{{2a - b}} + \frac{{c + b}}{{2c - b}} = \frac{{a.\frac{1}{b} + 1}}{{2a.\frac{1}{b} - 1}} + \frac{{c.\frac{1}{b} + 1}}{{2c.\frac{1}{b} - 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{\frac{a}{2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{c}} \right) + 1}}{{a\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{c}} \right) - 1}} + \frac{{\frac{c}{2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{c}} \right) + 1}}{{c\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{c}} \right) - 1}} = \frac{3}{2}\left( {\frac{c}{a} + \frac{a}{c}} \right) + 1.\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(\frac{c}{a} + \frac{a}{c} \ge 2\sqrt {\frac{c}{a}.\frac{a}{c}} = 2.\)

\( \Rightarrow K = \frac{3}{2}\left( {\frac{c}{a} + \frac{a}{c}} \right) + 1 \ge \frac{3}{2}.2 + 1 = 4.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a,b,c > 0\\\frac{c}{a} = \frac{a}{c}\\\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c\)

Vậy \({K_{\min }} = 4 \Leftrightarrow a = b = c.\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.