Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm \(m\) để mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z + 1 = 0\)

Câu hỏi số 335306:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm \(m\) để mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z + 1 = 0\) cắt mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6y + 2\left( {m - 2} \right)z + 4 = 0\) theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích bằng \(3\pi \).

A. \(\left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = 1\end{array} \right.\).

B. \(m = \pm 3\).

C. \(\left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = 1\end{array} \right.\).

D. \(\left[ \begin{array}{l}m = - 3\\m = - 1\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:335306

Phương pháp giải

\({d^2} + {r^2} = {R^2}\)

Trong đó, d : khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P),

\(r\): bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P),

\(R\): bán kính hình cầu.

Giải chi tiết

Bán kính của đường tròn giao tuyến là: \(r = \sqrt {\frac{{3\pi }}{\pi }} = \sqrt 3 \)

Ta có: \({3^2} + {\left( {m - 2} \right)^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 9 > 0\): luôn đúng với mọi \(m\)

\( \Rightarrow \left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6y + 2\left( {m - 2} \right)z + 4 = 0\) là phương trình mặt cầu với mọi \(m\)

\(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0;3;2 - m} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{m^2} - 4m + 9} \)

\(d = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 3 + 2 - m + 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\left| {6 - m} \right|}}{{\sqrt 3 }}\)

Ta có: \({d^2} + {r^2} = {R^2} \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {6 - m} \right)}^2}}}{3} + 3 = {m^2} - 4m + 9\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {6 - m} \right)^2} + 9 = 3{m^2} - 12m + 27\\ \Leftrightarrow {m^2} - 12m + 36 + 9 = 3{m^2} - 12m + 27\\ \Leftrightarrow 2{m^2} = 18 \Leftrightarrow m = \pm 3\end{array}\).

Chọn: B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.