Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông có cạnh bằng \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông có cạnh bằng \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\). Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(SB,\,\,SD\) (tham khảo hình vẽ bên). Tan của góc tạo bởi đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {AHK} \right)\) bằng:
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.
Ta có
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\\\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\,\,\left( {gt} \right)\\AH \bot BC\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC\end{array}\)
CMTT: \(AK \bot SC \Rightarrow SC \bot \left( {AHK} \right)\).
Gọi \(AC \cap BD = O\). Trong \(\left( {SBD} \right)\) gọi \(E = HK \cap SO\).
Trong \(\left( {SAC} \right)\) gọi \(F = AE \cap SC \Rightarrow \left( {AHK} \right) \equiv \left( {AHFK} \right)\).
Ta có \(SF \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow FK\) là hình chiếu của \(SK\) lên \(\left( {AHK} \right)\).
\( \Rightarrow \angle \left( {SD;\left( {AHK} \right)} \right) = \angle \left( {SK;FK} \right) = \angle SKF\).
Ta có \(SF \bot \left( {AHFK} \right) \Rightarrow SF \bot FK \Rightarrow \Delta SFK\) vuông tại \(F\)\( \Rightarrow \tan \angle KSF = \dfrac{{SF}}{{FK}}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :
\(\begin{array}{l}SK = \dfrac{{S{A^2}}}{{SD}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \dfrac{{{a^2}}}{{a\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\\SF = \dfrac{{S{A^2}}}{{SC}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} }} = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}\end{array}\)
\( \Rightarrow FK = \sqrt {S{K^2} - S{F^2}} = \dfrac{a}{{\sqrt 6 }}\).
Vậy \(\tan \angle \left( {SD;\left( {AHK} \right)} \right) = \dfrac{{\dfrac{a}{{\sqrt 3 }}}}{{\dfrac{a}{{\sqrt 6 }}}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 2 \)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
