Biết \(\int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{{{\cos }^2}x + \sin x\cos x + 1}}{{{{\cos }^4}x +

Câu hỏi số 335840:

Vận dụng

Biết \(\int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{{{\cos }^2}x + \sin x\cos x + 1}}{{{{\cos }^4}x + \sin x{{\cos }^3}x}}dx} = a + b\ln 2 + c\ln \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\), với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số hữu tỉ. Giá trị của \(abc\) bằng:

A. \(0\)

B. \( - 2\)

C. \( - 4\)

D. \( - 6\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:335840

Phương pháp giải

Chia cả tử và mẫu của phân thức trong dấu tích phân cho \({\cos ^2}x\) sau đó sử dụng phương pháp đổi biến, đặt \(t = \tan x\).

Giải chi tiết

\(I = \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{{{\cos }^2}x + \sin x\cos x + 1}}{{{{\cos }^4}x + \sin x{{\cos }^3}x}}dx} = \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{1 + \tan x + 1 + {{\tan }^2}x}}{{{{\cos }^2}x\left( {1 + \tan x} \right)}}dx} = \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{{{\tan }^2}x + \tan x + 2}}{{{{\cos }^2}x\left( {1 + \tan x} \right)}}dx} \)

Đặt \(t = \tan x \Rightarrow dt = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} \Rightarrow t = 1\\x = \dfrac{\pi }{3} \Rightarrow t = \sqrt 3 \end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_1^{\sqrt 3 } {\dfrac{{{t^2} + t + 2}}{{t + 1}}dt} = \int\limits_1^{\sqrt 3 } {\left( {t + \dfrac{2}{{t + 1}}} \right)dt} \\ = \left. {\dfrac{{{t^2}}}{2} + 2\ln \left| {t + 1} \right|} \right|_1^{\sqrt 3 } = \dfrac{3}{2} + 2\ln \left( {\sqrt 3 + 1} \right) - \dfrac{1}{2} - 2\ln 2 = 1 - 2\ln 2 + 2\ln \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow abc = 1.\left( { - 2} \right).2 = - 4\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.