Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh a, cạnh bên \(SA = a\) và vuông góc với

Câu hỏi số 336713:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh a, cạnh bên \(SA = a\) và vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Trên \(SB,SD\) lần lượt lấy hai điểm \(M,N\) sao cho \(\dfrac{{SM}}{{SB}} = m > 0,\,\,\dfrac{{SN}}{{SD}} = n > 0\). Tính thể tích lớn nhất \({V_{\max }}\) của khối chóp \(S.AMN\) biết \(2{m^2} + 3{n^2} = 1\).

A. \({V_{\max }} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{72}}\).

B. \({V_{\max }} = \dfrac{{{a^3}}}{{48}}\).

C. \({V_{\max }} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\).

\({V_{\max }} = \dfrac{{{a^3}}}{6}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:336713

Phương pháp giải

Lập tỉ lệ thể tích của khối chóp \(S.AMN\) và khối chóp \(S.ABCD\).

Sử dụng BĐT để biện luận GTLN của thể tích khối chóp \(S.AMN\).

Giải chi tiết

Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là: \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.a.{a^2} = \dfrac{1}{3}{a^3}\)

Ta có: \(\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABD}}}} = \dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SD}} = mn \Rightarrow {V_{S.AMN}} = mn{V_{S.ABD}} = \dfrac{1}{2}mn{V_{S.ABCD}}\)

Mà : \(1 = 2{m^2} + 3{n^2} \ge 2\sqrt {2{m^2}.3{n^2}} \Rightarrow 1 \ge 2\sqrt 6 .mn \Rightarrow mn \le \dfrac{{\sqrt 6 }}{{12}}\)

\( \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{2}mn{V_{S.ABCD}} \le \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 6 }}{{12}}.{V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 6 }}{{12}}.\dfrac{{{a^3}}}{3} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{72}}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2{m^2} + 3{n^2} = 1\\2{m^2} = 3{n^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} = \dfrac{1}{4}\\{n^2} = \dfrac{1}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{2}\\n = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\end{array} \right.\)

Vậy, thể tích lớn nhất của khối chóp \(S.AMN\)là \({V_{\max }}\)\( = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{72}}\).

Chọn: A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.