Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh a, cạnh bên \(SA = a\) và vuông góc với

Câu hỏi số 336713:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh a, cạnh bên \(SA = a\) và vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Trên \(SB,SD\) lần lượt lấy hai điểm \(M,N\) sao cho \(\dfrac{{SM}}{{SB}} = m > 0,\,\,\dfrac{{SN}}{{SD}} = n > 0\). Tính thể tích lớn nhất \({V_{\max }}\) của khối chóp \(S.AMN\) biết \(2{m^2} + 3{n^2} = 1\).

A. \({V_{\max }} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{72}}\).

B. \({V_{\max }} = \dfrac{{{a^3}}}{{48}}\).

C. \({V_{\max }} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\).

\({V_{\max }} = \dfrac{{{a^3}}}{6}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:336713

Phương pháp giải

Lập tỉ lệ thể tích của khối chóp \(S.AMN\) và khối chóp \(S.ABCD\).

Sử dụng BĐT để biện luận GTLN của thể tích khối chóp \(S.AMN\).

Giải chi tiết

Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là: \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.a.{a^2} = \dfrac{1}{3}{a^3}\)

Ta có: \(\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABD}}}} = \dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SD}} = mn \Rightarrow {V_{S.AMN}} = mn{V_{S.ABD}} = \dfrac{1}{2}mn{V_{S.ABCD}}\)

Mà : \(1 = 2{m^2} + 3{n^2} \ge 2\sqrt {2{m^2}.3{n^2}} \Rightarrow 1 \ge 2\sqrt 6 .mn \Rightarrow mn \le \dfrac{{\sqrt 6 }}{{12}}\)

\( \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{2}mn{V_{S.ABCD}} \le \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 6 }}{{12}}.{V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 6 }}{{12}}.\dfrac{{{a^3}}}{3} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{72}}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2{m^2} + 3{n^2} = 1\\2{m^2} = 3{n^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} = \dfrac{1}{4}\\{n^2} = \dfrac{1}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{2}\\n = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\end{array} \right.\)

Vậy, thể tích lớn nhất của khối chóp \(S.AMN\)là \({V_{\max }}\)\( = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{72}}\).

Chọn: A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.