Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 \) và

Câu hỏi số 336714:

Vận dụng cao

Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 \) và biểu thức \(M = {\left| {z + 2} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2}\) đạt giá trị lớn nhất. Tính mô đun của số phức \(z + i\).

A. \(\left| {z + i} \right| = \sqrt {61} \).

B. \(\left| {z + i} \right| = 5\sqrt 2 \).

C. \(\left| {z + i} \right| = 3\sqrt 5 \).

\(\left| {z + i} \right| = 2\sqrt {41} \).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:336714

Phương pháp giải

Áp dụng BĐT Bunhiacopski \({\left( {ax + by} \right)^2}\,\, \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}\).

Giải chi tiết

Giả sử \(z = a + bi,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\). Do \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 \) nên \({\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = 5\)

\(M = {\left| {z + 2} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2} = \left( {{{\left( {a + 2} \right)}^2} + {b^2}} \right) - \left( {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} \right) = 4a + 2b + 3 \Rightarrow 4a + 2b + 3 - M = 0\)

Để tồn tại số phức z như trên thì M thỏa mãn điều kiện: đường thẳng \(4x + 2y + 3 - M = 0\,\,\left( \Delta \right)\) và đường tròn \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\) có điểm chung\( \Leftrightarrow d\left( {I;\Delta } \right) \le R\), với \(I\left( {3;4} \right),R = \sqrt 5 \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {4.3 + 2.4 + 3 - M} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {2^2}} }} \le \sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {23 - M} \right| \le 10 \Leftrightarrow 13 \le M \le 33\)

\({M_{\max }} = 33\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 2y + 3 - 33 = 0\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 15 - 2x\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {15 - 2x - 4} \right)^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 5\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow z = 5 + 5i \Leftrightarrow z + i = 5 + 6i \Rightarrow z + i = \sqrt {25 + 36} = \sqrt {61} \).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.