Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;5;0} \right),\,B\left( {3;3;6} \right)\) và đường thẳng

Câu hỏi số 336712:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;5;0} \right),\,B\left( {3;3;6} \right)\) và đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{2}\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc đường thẳng \(d\) sao cho chu vi tam giác \(MAB\) nhỏ nhất. Khi đó giá trị của biểu thức \(a + 2b + 3c\) bằng

A. 5

B. 7

C. 9

D. 3

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:336712

Phương pháp giải

- Tham số hóa điểm M (do M thuộc đường thẳng d). Từ đó tìm vị trí của M để chu vi tam giác \(MAB\) nhỏ nhất.

- Áp dụng BĐT: \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{x^2} + {y^2}} \ge \sqrt {{{\left( {a + x} \right)}^2} + {{\left( {b + y} \right)}^2}} \)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}\).

Giải chi tiết

Ta có: Chu vi tam giác \(MAB\) bằng \(MA + MB + AB\)

Mà \(AB\) cố định nên chu vi tam giác \(MAB\) nhỏ nhất khi và chỉ khi tổng \(MA + MB\) nhỏ nhất.

\(A\left( {1;5;0} \right),\,B\left( {3;3;6} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {2; - 2;6} \right)\)

\(M \in d:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{2} \Rightarrow \) Giả sử \(M\left( { - 1 + 2t;1 - t;2t} \right)\).

Khi đó:

\(\begin{array}{l}MA + MB = \sqrt {{{\left( {2t - 2} \right)}^2} + {{\left( {t + 4} \right)}^2} + {{\left( {2t} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {2t - 4} \right)}^2} + {{\left( {t + 2} \right)}^2} + {{\left( {2t - 6} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {9{t^2} + 20} + \sqrt {9{t^2} - 36t + 56} = \sqrt {{{\left( {3t} \right)}^2} + 20} + \sqrt {{{\left( {3t - 6} \right)}^2} + 20} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {3t} \right)}^2} + 20} + \sqrt {{{\left( {6 - 3t} \right)}^2} + 20} \ge \sqrt {{{\left( {3t + 6 - 3t} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {20} + \sqrt {20} } \right)}^2}} = 2\sqrt {29} \end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{3t}}{{6 - 3t}} = \dfrac{{\sqrt {20} }}{{\sqrt {20} }} = 1 \Leftrightarrow t = 1\)

\( \Rightarrow {\left( {MA + MB} \right)_{\min }} = 2\sqrt {29} \) khi và chỉ khi \(t = 1\)\( \Leftrightarrow M\left( {1;0;2} \right)\,\, \Rightarrow \)\(a + 2b + 3c = 1 + 2.0 + 2.3 = 7\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.