Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = a,AC = a\sqrt 2 ,AD = a\sqrt 3 ,\) các tam giác \(ABC,ACD,ABD\) là các tam

Câu hỏi số 337448:

Thông hiểu

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = a,AC = a\sqrt 2 ,AD = a\sqrt 3 ,\) các tam giác \(ABC,ACD,ABD\) là các tam giác vuông tại đỉnh \(A.\) Khoảng cách \(d\) từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) là

A. \(d = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}\)

B. \(d = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

C. \(d = \frac{{a\sqrt {30} }}{5}\)

D. \(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:337448

Phương pháp giải

Chỉ ra \(ABCD\) là tứ diện vuông (tức \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc)

Khi đó sử dụng công thức tính chiều cao từ đỉnh \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) là \(d\) thì \(\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}}\)

Giải chi tiết

Vì các tam giác \(ABC,ACD,ABD\) là các tam giác vuông tại đỉnh \(A\) nên \(AB \bot AC,\,AC \bot AD,\,AD \bot AB\) hay \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc nên khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {BCD} \right)\) là \(d\) thì

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}}\\ = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} = \frac{{11}}{{6{a^2}}} \Rightarrow d = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}.\end{array}\)

Chú ý khi giải

Ta có thể chứng minh công thức khoảng cách \(\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}}\) như sau :

+ Vì \(AB \bot AC,\,AC \bot AD,\,AD \bot AB\) nên \(AD \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AD \bot BC\)

+ Trong \(\Delta ABC\) kẻ \(AK \bot BC\) , lại có \(AD \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {AKD} \right)\)

+ Trong \(\left( {AKD} \right)\) kẻ \(AH \bot DK\) mà \(AH \bot BC\left( {do\,BC \bot \left( {ADK} \right)} \right) \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right)\)

Suy ra \(d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = AH.\)

+ Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC\) và \(ADK\) có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}}\)

Hay \(\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.