Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = 0,\,\,x = \pi \). Biết rằng thiết

Câu hỏi số 338644:

Vận dụng

Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = 0,\,\,x = \pi \). Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\,\,\left( {0 \le x \le \pi } \right)\) là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \(\sin x + 2\).

A. \(\dfrac{{7\pi }}{6} + 2\)

B. \(\dfrac{{7\pi }}{6} + 1\)

C. \(\dfrac{{9\pi }}{8} + 2\)

D. \(\dfrac{{9\pi }}{8} + 1\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:338644

Phương pháp giải

Thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = a,\,\,x = b\), thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\,\,\left( {0 \le x \le \pi } \right)\) có diện tích \(S\left( x \right)\) là \(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} \).

Giải chi tiết

Tam giác vuông có cạnh huyền bằng \(\sin x + 2\) có cạnh góc vuông bằng \(\dfrac{{\sin x + 2}}{{\sqrt 2 }}\).

\( \Rightarrow S\left( x \right) = \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{{\sin x + 2}}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} = \dfrac{{{{\left( {\sin x + 2} \right)}^2}}}{4}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow V = \dfrac{1}{4}\int\limits_0^\pi {{{\left( {\sin x + 2} \right)}^2}dx} = \dfrac{1}{4}\int\limits_0^\pi {\left( {{{\sin }^2}x + 4\sin x + 4} \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{4}\int\limits_0^\pi {\left( {\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2} + 4\sin x + 4} \right)dx} = \left. {\dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{2}x - \dfrac{{\sin 2x}}{4} - 4\cos x + 4x} \right)} \right|_0^\pi \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{2}\pi + 4 + 4\pi + 4} \right) = \dfrac{1}{4}\left( {8 + \dfrac{{9\pi }}{2}} \right) = \dfrac{{9\pi }}{8} + 2\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.