Hỏi phương trình \({3.2^x} + {4.3^x} + {5.4^x} = {6.5^x}\) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

Câu hỏi số 338986:

Thông hiểu

A. \(0\).

B. \(1\).

C. \(3\).

D. \(2\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:338986

Phương pháp giải

Chia cả hai vế cho \({5^x}\).

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đánh giá nghiệm.

Giải chi tiết

Ta có: \({3.2^x} + {4.3^x} + {5.4^x} = {6.5^x} \Leftrightarrow 3.{\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} + 4.{\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + 5.{\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} - 6 = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Nhận xét: \(f\left( x \right) = 3.{\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} + 4.{\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + 5.{\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} - 6\) nghịch biến trên \(\mathbb{R} \Rightarrow \) Phương trình (*) có nhiều nhất 1 nghiệm

Mà \(f\left( 1 \right) = 3.\frac{2}{5} + 4.\frac{3}{5} + 5.\frac{4}{5} - 6 = \frac{8}{5}\) và \(f\left( 2 \right) = 3.\frac{4}{{25}} + 4.\frac{9}{{25}} + 5.\frac{{16}}{{25}} - 6 = - \frac{{22}}{{25}}\)

\( \Rightarrow f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) < 0\)

\( \Rightarrow \) Phương trình (*) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {1;2} \right)\) và là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.