Cho các số phức z và w thỏa mãn \(\left( {3 - i} \right)\left| z \right| = \frac{z}{{w - 1}} + 1 - i\). Tìm

Câu hỏi số 338995:

Vận dụng cao

Cho các số phức z và w thỏa mãn \(\left( {3 - i} \right)\left| z \right| = \frac{z}{{w - 1}} + 1 - i\). Tìm GTLN của \(T = \left| {w + i} \right|\).

A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

B. \(\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

C. \(2\).

D. \(\frac{1}{2}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:338995

Phương pháp giải

Sử dụng BĐT \(\left| {{z_1} + {z_3}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\).

Giải chi tiết

Dễ dàng kiểm tra \(z = 0\) không thỏa mãn \(\left( {3 - i} \right)\left| z \right| = \frac{z}{{w - 1}} + 1 - i\)

Ta có: \(\left( {3 - i} \right)\left| z \right| = \frac{z}{{w - 1}} + 1 - i \Leftrightarrow \frac{z}{{w - 1}} = \left( {3 - i} \right)\left| z \right| + i - 1 \Leftrightarrow \frac{z}{{w - 1}} = \left( {3\left| z \right| - 1} \right) + \left( {1 - \left| z \right|} \right)i\)\( \Rightarrow \left| {\frac{z}{{w - 1}}} \right| = \sqrt {10{{\left| z \right|}^2} - 8\left| z \right| + 2} \)\( \Rightarrow \left| {w - 1} \right| = \sqrt {\frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{{10{{\left| z \right|}^2} - 8\left| z \right| + 2}}} \)

Nhận xét: \(T = \left| {w + i} \right| \le \left| {w - 1} \right| + \left| {1 + i} \right| = \frac{1}{{\sqrt {\frac{2}{{{{\left| z \right|}^2}}} - \frac{8}{{\left| z \right|}} + 10} }} + \sqrt 2 = \frac{1}{{\sqrt {2{{\left( {\frac{1}{{\left| z \right|}} - 2} \right)}^2} + 2} }} + \sqrt 2 \le \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khỉ \(\left\{ \begin{array}{l}\left| z \right| = \frac{1}{2}\\w - 1 = k\left( {1 + i} \right)\\\left( {3 - i} \right)\left| z \right| = \frac{z}{{w - 1}} + 1 - i\end{array} \right.,\left( {k > 0} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = \frac{1}{2}i\\w = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i\end{array} \right.\)

Vậy, \(\max T = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

Chọn: B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.