Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) khác \(0\) thỏa mãn \(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\) là số thuần ảo và

Câu hỏi số 339720:

Vận dụng

Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) khác \(0\) thỏa mãn \(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\) là số thuần ảo và \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 10\). Giá trị lớn nhất của \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\) bằng

A. \(10\)

B. \(10\sqrt 2 \)

C. \(10\sqrt 3 \)

D. \(20\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:339720

Phương pháp giải

- Viết \({z_1} = ki{z_2}\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\), thay vào đẳng thúc bài cho tìm \(\left| {{z_2}} \right|,\left| {{z_1}} \right|\) theo \(k\).

- Tìm GTLN của \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\) và kết luận.

Giải chi tiết

Ta có : \(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\) là số thuần ảo nên ta viết lại \(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = ki \Leftrightarrow {z_1} = ki{z_2}\)

Khi đó \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {ki{z_2} - {z_2}} \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {{z_2}\left( { - 1 + ki} \right)} \right| = 10\) \( \Leftrightarrow \left| {{z_2}} \right| = \dfrac{{10}}{{\left| { - 1 + ki} \right|}} = \dfrac{{10}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }}\)

\( \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {ki} \right|.\left| {{z_2}} \right| = \left| k \right|.\dfrac{{10}}{{{k^2} + 1}}\) \( \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \dfrac{{10\left| k \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} + \dfrac{{10}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = \dfrac{{10\left( {\left| k \right| + 1} \right)}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }}\)

Xét \(y = f\left( t \right) = \dfrac{{10\left( {t + 1} \right)}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}\) \( \Rightarrow 10\left( {t + 1} \right) = y\sqrt {{t^2} + 1} \Leftrightarrow 100{\left( {t + 1} \right)^2} = {y^2}\left( {{t^2} + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 100\left( {{t^2} + 2t + 1} \right) = {y^2}{t^2} + {y^2} \Leftrightarrow \left( {{y^2} - 100} \right){t^2} - 200t + {y^2} - 100 = 0\)

Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' = {100^2} - {\left( {{y^2} - 100} \right)^2} = {y^2}\left( {200 - {y^2}} \right) \ge 0\) \( \Leftrightarrow - 10\sqrt 2 \le y \le 10\sqrt 2 \)

Vậy \(\max y = 10\sqrt 2 \) khi \(t = 1\) hay \(k = \pm 1\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.