Cho phương trình \(\log _3^2x - 4{\log _3}x + m - 3 = 0.\) Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số

Câu hỏi số 339719:

Vận dụng

Cho phương trình \(\log _3^2x - 4{\log _3}x + m - 3 = 0.\) Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1} < {x_2}\) thỏa mãn \({x_2} - 81{x_1} < 0\)

A. \(4\)

B. \(5\)

C. \(3\)

D. \(6\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:339719

Phương pháp giải

+ Tìm ĐK.

+ Đặt \({\log _3}x = t\) từ đó đưa về phương trình bậc hai ẩn \(t.\)

+ Biến đổi yêu cầu bài toán để sử dụng được hệ thức Vi-ét.

Giải chi tiết

Đk: \(x > 0\)

Đặt \({\log _3}x = t\) ta có phương trình \({t^2} - 4t + m - 3 = 0\) (*)

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1} < {x_2}\) thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \({t_1} < {t_2}\)

Hay \(\Delta ' = {2^2} - \left( {m - 3} \right) = 7 - m > 0 \Leftrightarrow m < 7\)

Theo hệ thức Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = 4\\{t_1}.{t_2} = m - 3\end{array} \right.\)

Ta có \({t_1} = {\log _3}{x_1} \Rightarrow {x_1} = {3^{{t_1}}};\,{t_2} = {\log _3}{x_2} \Rightarrow {x_2} = {3^{{t_2}}}\)

Khi đó \({x_2} - 81{x_1} < 0 \Leftrightarrow {3^{{t_2}}} - {81.3^{{t_1}}} < 0 \Leftrightarrow {3^{{t_2}}} < {3^{{t_1} + 4}} \Leftrightarrow {t_2} < {t_1} + 4 \Leftrightarrow {t_2} - {t_1} < 4\)

Suy ra \({\left( {{t_2} - {t_1}} \right)^2} < 16 \Leftrightarrow {\left( {{t_2} + {t_1}} \right)^2} - 4{t_1}{t_2} < 16\) \( \Leftrightarrow {\left( { - 4} \right)^2} - 4.\left( {m - 3} \right) < 16 \Leftrightarrow m - 3 > 0 \Leftrightarrow m > 3\)

Từ đó \(3 < m < 7\) mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {4;5;6} \right\}\).

Vậy có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn đề bài.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.