Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ. Biết trên

Câu hỏi số 339721:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ. Biết trên \(\left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\) thì \(f'\left( x \right) > 0\). Số nghiệm nguyên thuộc \(\left( { - 10;10} \right)\) của bất phương trình \(\left[ {f\left( x \right) + x - 1} \right]\left( {{x^2} - x - 6} \right) > 0\) là

A. \(9\)

B. \(10\)

C. \(8\)

D. \(7\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:339721

Phương pháp giải

Chia hai trường hợp để giải bất phương trình

Sử dụng hình vẽ và sự tương giao của hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) để xét dấu biểu thức \(f\left( x \right) - g\left( x \right)\).

Trên \(\left( {a;b} \right)\) mà đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nằm phía trên đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) thì \(f\left( x \right) - g\left( x \right) > 0\).

Giải chi tiết

Ta có \(\left[ {f\left( x \right) + x - 1} \right]\left( {{x^2} - x - 6} \right) > 0\) (*)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x - 6 > 0\\f\left( x \right) + x - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x < - 2\\x > 3\end{array} \right.\\f\left( x \right) > 1 - x\end{array} \right.\)

Đường thẳng \(y = 1 - x\) đi qua các điểm \(\left( { - 3;4} \right);\left( { - 1;2} \right);\left( {0;1} \right);\left( {2; - 1} \right)\) như hình vẽ và giao với đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 4 điểm như trên.

Từ đồ thị hàm số ta thấy \(f\left( x \right) > 1 - x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 3 < x < - 1\\x > 2\end{array} \right.\)

Kết hợp điều kiện \(\left[ \begin{array}{l}x < - 2\\x > 3\end{array} \right.\) thì ta có \(\left[ \begin{array}{l} - 3 < x < - 2\\x > 3\end{array} \right.\) (1)

TH2 : \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x - 6 < 0\\f\left( x \right) + x - 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < x < 3\\f\left( x \right) < 1 - x\end{array} \right.\)

Từ đồ thị hàm số ta có \(f\left( x \right) < 1 - x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 3\\ - 1 < x < 2\end{array} \right.\) kết hợp với \( - 2 < x < 3\) ta được \( - 1 < x < 2.\) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\left[ \begin{array}{l} - 3 < x < - 2\\ - 1 < x < 2\\x > 3\end{array} \right.\) mà \(x \in \left( { - 10;10} \right)\) và \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {0;1;4;5;6;7;8;9} \right\}\)

Nhận thấy tại \(x = 0\) thì \(f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow f\left( x \right) + x - 1 = f\left( 1 \right) - 1 = 0 \Rightarrow VT\) của (*) bằng \(0\) nên \(x = 0\) không thỏa mãn BPT.

Có 7 giá trị \(x\) thỏa mãn đề bài.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.