Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác đều \(ABC\) với \(A\left( {6;3;5} \right)\) và đường thẳng

Câu hỏi số 339808:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác đều \(ABC\) với \(A\left( {6;3;5} \right)\) và đường thẳng \(BC\) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + t\\z = 2t\end{array} \right.\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(\Delta \)?

A. \(M\left( { - 1; - 12;3} \right)\)

B. \(N\left( {3; - 2;1} \right)\)

C. \(P\left( {0; - 7;3} \right)\)

D. \(Q\left( {1; - 2;5} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:339808

Phương pháp giải

- Tìm tọa độ hình chiếu \(H\) của \(A\) trên \(BC\).

- Tìm tọa độ điểm \(G\) và viết phương trình \(\Delta \), chú ý \(\Delta \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{u_{BC}}} \\\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {AH} \end{array} \right.\).

Giải chi tiết

\(BC:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + t\\z = 2t\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_{BC}}} = \left( { - 1;1;2} \right)\) là 1VTCP của \(BC\).

Xét \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc \(BC\) nên \(\left( P \right)\) qua \(A\left( {6;3;5} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{u_{BC}}} = \left( { - 1;1;2} \right)\) làm 1VTPT\( \Rightarrow \left( P \right): - 1\left( {x - 6} \right) + 1\left( {y - 3} \right) + 2\left( {z - 5} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - x + y + 2z - 7 = 0\).

\(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(BC\) thì \(H = BC \cap \left( P \right)\) hay tọa độ của \(H\) thỏa mãn hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + t\\z = 2t\\ - x + y + 2z - 7 = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow - \left( {1 - t} \right) + 2 + t + 2.2t - 7 = 0 \Leftrightarrow 6t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1\)\( \Rightarrow H\left( {0;3;2} \right)\).

Lại có \(\overrightarrow {AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AH} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} - 6 = \dfrac{2}{3}\left( {0 - 6} \right)\\{y_G} - 3 = \dfrac{2}{3}\left( {3 - 3} \right)\\{z_G} - 5 = \dfrac{2}{3}\left( {2 - 5} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = 2\\{y_G} = 3\\{z_G} = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow G\left( {2;3;3} \right)\).

Điểm \(\overrightarrow {AH} = \left( { - 6;0; - 3} \right),\overrightarrow {{u_{BC}}} = \left( { - 1;1;2} \right)\)\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {{u_{BC}}} } \right] = \left( {3;15; - 6} \right)\).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(G\left( {2;3;3} \right)\) và nhận \(\dfrac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {{u_{BC}}} } \right] = \left( {1;5; - 2} \right)\) làm VTCP \( \Rightarrow \Delta :\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{5} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 2}}\).

Kiểm tra mỗi đáp án ta thấy chỉ có điểm \(Q \in \Delta \) vì \(\dfrac{{1 - 2}}{1} = \dfrac{{ - 2 - 3}}{5} = \dfrac{{5 - 3}}{{ - 2}} = - 1\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.