Cho hai số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({2^y} + y = 2x + {\log _2}\left( {x + {2^{y - 1}}} \right)\). Giá
Cho hai số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({2^y} + y = 2x + {\log _2}\left( {x + {2^{y - 1}}} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{x}{y}\) bằng
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Cộng cả hai vế với \({2^y}\) đưa phương trình dạng \(f\left( u \right) = f\left( v \right)\) với \(u,v\) là các biểu thức ẩn \(x,y\).
- Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng, xét hàm \(y = f\left( t \right)\) suy ra mối quan hệ \(u,v\) dẫn đến mối quan hệ của \(x,y\).
- Đánh giá GTNN của \(\dfrac{x}{y}\) và kết luận
Ta có :
\(\begin{array}{l}{2^y} + y = 2x + {\log _2}\left( {x + {2^{y - 1}}} \right)\\ \Leftrightarrow {2^y} + y + {2^y} = 2x + {2^y} + {\log _2}\left( {x + {2^{y - 1}}} \right)\\ \Leftrightarrow {2.2^y} + y = 2\left( {x + {2^{y - 1}}} \right) + {\log _2}\left( {x + {2^{y - 1}}} \right)\\ \Leftrightarrow {2.2^y} + {\log _2}{2^y} = 2\left( {x + {2^{y - 1}}} \right) + {\log _2}\left( {x + {2^{y - 1}}} \right)\,\left( * \right)\end{array}\)
Đặt \(f\left( t \right) = 2t + {\log _2}t\) với \(t > 0\) thì \(\left( * \right)\) là \(f\left( {{2^y}} \right) = f\left( {x + {2^{y - 1}}} \right)\).
Có \(f'\left( t \right) = 2 + \dfrac{1}{{t\ln 2}} > 0,\forall t > 0\) hya hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( {{2^y}} \right) = f\left( {x + {2^{y - 1}}} \right) \Leftrightarrow {2^y} = x + {2^{y - 1}}\\ \Leftrightarrow {2.2^{y - 1}} = x + {2^{y - 1}} \Leftrightarrow x = {2^{y - 1}} \Rightarrow \dfrac{x}{y} = \dfrac{{{2^{y - 1}}}}{y} = g\left( y \right)\end{array}\)
Xét hàm \(g\left( y \right) = \dfrac{{{2^{y - 1}}}}{y}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) có :
\(\begin{array}{l}g'\left( y \right) = \dfrac{{{2^{y - 1}}.y\ln 2 - {2^{y - 1}}}}{{{y^2}}} = \dfrac{{{2^{y - 1}}\left( {y\ln 2 - 1} \right)}}{{{y^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{{\ln 2}} = {\log _2}e\end{array}\)
Do đó \(g\left( y \right) \ge \dfrac{{e\ln 2}}{2},\forall y > 0\) hay \(\min \dfrac{x}{y} = \dfrac{{e\ln 2}}{2}\).
Dấu \('' = ''\) xảy ra khi \(y = {\log _2}e \Rightarrow x = {2^{{{\log }_2}e - 1}} = \dfrac{e}{2}\).
Chọn C
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
