Hình phẳng giới hạn bởi tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 3}

Câu hỏi số 340660:

Vận dụng

Hình phẳng giới hạn bởi tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 3} \right| + \left| {z + 3} \right| = 10\) có diện tích bằng

A. \(20\pi \)

B. \(15\pi \)

C. \(12\pi \)

D. \(25\pi \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:340660

Phương pháp giải

Gọi \(z = x + yi\,\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\) thì mô đun \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

Biến đổi giả thiết để có quỹ tích là elip \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Diện tích elip bằng \(\pi .ab\)

Giải chi tiết

Gọi \(z = x + yi\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\) ta có \(\left| {z - 3} \right| + \left| {z + 3} \right| = 10\)

\( \Leftrightarrow \left| {x - 3 + yi} \right| + \left| {x + 3 + yi} \right| = 10\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} + {y^2}} = 10\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {y^2}} = 10 - \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} + {y^2}} \\ \Rightarrow {x^2} - 6x + 9 + {y^2} = 100 - 20\sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} + {y^2}} + {x^2} + 6x + 9 + {y^2}\\ \Leftrightarrow 5\sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} + {y^2}} = 3x + 25\\ \Leftrightarrow 25\left( {{x^2} + 6x + 9 + {y^2}} \right) = 9{x^2} + 150x + 625\\ \Leftrightarrow 25{x^2} + 16{y^2} = 400 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{4^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{5^2}}} = 1\end{array}\)

Quỹ tích điểm biểu diễn số phức \(z\) là elip \(\dfrac{{{x^2}}}{{{4^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{5^2}}} = 1 \Rightarrow a = 4;\,\,b = 5\)

Diện tích elip là \(S = \pi ab = 20\pi \).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.