Cho \(x,y\) là hai số thực dương khác \(1\). Biết \({\log _2}x = {\log _{16}}y\) và \(xy = 64\). Tính \({\left( {{{\log }_2}\dfrac{x}{y}} \right)^2}\).

Câu 340661: Cho \(x,y\) là hai số thực dương khác \(1\). Biết \({\log _2}x = {\log _{16}}y\) và \(xy = 64\). Tính \({\left( {{{\log }_2}\dfrac{x}{y}} \right)^2}\).

A. \(\dfrac{{25}}{2}\)

B. \(\dfrac{{45}}{2}\)

C. \(25\)

D. \(20\)

Câu hỏi : 340661

Phương pháp giải:

+) Đặt \({\log _2}x = {\log _y}16 = t\), rút \(x,y\) theo \(t\) và thay vào đẳng thức bài cho tìm phương trình ẩn \(t\).

+) Tính giá trị biểu thức cần tính theo \(t\) và sử dụng phương tình trình trên suy ra kết quả.

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \({\log _2}x = {\log _y}16 = t \Rightarrow x = {2^t}\) và \(\dfrac{1}{{{{\log }_{16}}y}} = t \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\dfrac{1}{4}{{\log }_2}y}} = t \Leftrightarrow {\log _2}y = \dfrac{4}{t} \Leftrightarrow y = {2^{\dfrac{4}{t}}}\)

Khi đó \(xy = 64 \Leftrightarrow {2^t}{.2^{\dfrac{4}{t}}} = 64 \Leftrightarrow {2^{t + \dfrac{4}{t}}} = {2^6} \Leftrightarrow t + \dfrac{4}{t} = 6\).

Lại có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,{\left( {{{\log }_2}\dfrac{x}{y}} \right)^2} = {\left( {{{\log }_2}x - {{\log }_2}y} \right)^2} = {\left( {t - \dfrac{4}{t}} \right)^2}\\ = {t^2} - 8 + \dfrac{{16}}{{{t^2}}} = {\left( {t + \dfrac{4}{t}} \right)^2} - 8 - 8 = {\left( {t + \dfrac{4}{t}} \right)^2} - 16 = {6^2} - 16 = 20.\end{array}\)

Vậy \({\left( {{{\log }_2}\dfrac{x}{y}} \right)^2} = 20\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.