Cho \(\int\limits_1^4 {\dfrac{1}{{2\sqrt x }}{{\left( {\dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}}} \right)}^2}dx} =

Câu hỏi số 341669:

Vận dụng

Cho \(\int\limits_1^4 {\dfrac{1}{{2\sqrt x }}{{\left( {\dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}}} \right)}^2}dx} = \dfrac{a}{b} + 2\ln \dfrac{c}{d}\) với \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) là các số nguyên, \(\dfrac{a}{b}\) và \(\dfrac{c}{d}\) là các phân số tối giản. Giá trị của \(a + b + c + d\) bằng :

A. 16

B. 18

C. 25

D. 20

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:341669

Phương pháp giải

Đổi biến, đặt \(t = \sqrt x \).

Giải chi tiết

Đặt \(t = \sqrt x \Leftrightarrow dt = \dfrac{{dx}}{{2\sqrt x }}\). Đổi cận:\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1\\x = 4 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{1}{{2\sqrt x }}{{\left( {\dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}}} \right)}^2}dx} = \int\limits_1^2 {{{\left( {\dfrac{{t + 2}}{{t + 1}}} \right)}^2}dt} = \int\limits_1^2 {{{\left( {1 + \dfrac{1}{{t + 1}}} \right)}^2}dt} \\ = \int\limits_1^2 {\left[ {1 + \dfrac{2}{{t + 1}} + \dfrac{1}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}} \right]dt} = \left. {\left( {t + 2\ln \left| {t + 1} \right| - \dfrac{1}{{t + 1}}} \right)} \right|_1^2\\ = 2 + 2\ln 3 - \dfrac{1}{3} - 1 - 2\ln 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{6} + 2\ln \dfrac{3}{2} = \dfrac{a}{b} + 2\ln \dfrac{c}{d}\\ \Rightarrow a = 7;\,\,b = 6;\,\,c = 3;\,\,d = 2 \Rightarrow a + b + c + d = 7 + 6 + 3 + 2 = 18\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.