Trong không gian \(Oxyz,\) cho \(A\left( {0;0;2} \right),\,\,B\left( {1;1;0} \right)\) và mặt cầu \(\left( S
Trong không gian \(Oxyz,\) cho \(A\left( {0;0;2} \right),\,\,B\left( {1;1;0} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\). Xét điểm \(M\) thay đổi thuộc \(\left( S \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M{A^2} + 2M{B^2}\) bằng:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
+) Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \), xác định tọa độ điểm \(I\).
+) Biến đổi biểu thức \(M{A^2} + 2M{B^2}\) bằng cách chèn điểm \(I\).
+) Tìm vị trí của \(M\) trên \(\left( S \right)\) để \(M{A^2} + 2M{B^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất và tính.
Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \) ta có:
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( { - a; - b;2 - c} \right) + 2\left( {1 - a;1 - b; - c} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + 2 - 2a = 0\\ - b + 2 - 2b = 0\\2 - c - 2c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{3}\\b = \dfrac{2}{3}\\c = \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}M{A^2} + 2M{B^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\ = M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \overrightarrow {IA} + I{A^2} + 2M{I^2} + 4\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + I{B^2}\\ = 3M{I^2} + I{A^2} + 2I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} \underbrace {\left( {\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} } \right)}_{\overrightarrow 0 } = 3M{I^2} + \underbrace {I{A^2} + 2I{B^2}}_{const}\end{array}\)
Do \(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = {\left( {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right)^2} + {\left( {2 - \dfrac{2}{3}} \right)^2} = \dfrac{8}{3}\\I{B^2} = {\left( {1 - \dfrac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {1 - \dfrac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right)^2} = \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I{A^2} + 2I{B^2} = 4\) không đổi \( \Rightarrow {\left( {M{A^2} + 2M{B^2}} \right)_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }}\) với \(I\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}} \right),\,\,M \in \left( S \right)\).
Ta có \({\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{2}{3} - 1} \right)^2} = 1 > \dfrac{1}{4} \Rightarrow I\) nằm ngoài \(\left( S \right)\) .
Vậy \({\left( {M{A^2} + 2M{B^2}} \right)_{\min }} = 3MI_{\min }^2 + 4 = 3.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + 4 = \dfrac{{19}}{4}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
