Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC}

Câu hỏi số 342032:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Điểm S thay đổi trên d (S khác A). Gọi H là trực tâm của tam giác SBKhi đó H thuộc một đường tròn cố định, tính đường kính của đường tròn đó.

A. \(\dfrac{{\sqrt 3 a}}{3}\).

B. \(\dfrac{{\sqrt 3 a}}{6}\).

C. \(\dfrac{a}{2}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:342032

Phương pháp giải

Chứng minh tập hợp các điểm H là giao của mặt cầu cố định và mặt phẳng cố định.

Giải chi tiết

Gọi K là trực tâm của tam giác ABC; I, J lần lượt là chân đường cao của tam giác SBC ứng với đỉnh S, B.

\( \Rightarrow HK//SA \Rightarrow HK \bot \left( {ABC} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot HK\) (1)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BK \bot AC\\BK \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BK \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BK \bot SC\)

Mà \(SC \bot BH \Rightarrow SC \bot \left( {BHK} \right) \Rightarrow SC \bot HK\) (2)

Từ (1), (2) suy ra \(HK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow HK \bot HI \Rightarrow H\) thuộc mặt cầu (S) có đường kính là IK. (Mặt cầu này là cố định do I, K lần lượt là trung điểm cạnh BC, trực tâm tam giác ABC, đều là các điểm cố định).

Mặt khác H thuộc mặt phẳng cố định là \(\left( \alpha \right)\) (mặt phẳng chứa AI và vuông góc với (ABC).

\( \Rightarrow H \in \left( C \right)\) là đường tròn giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( S \right)\).

Do đường kính \(IK \in \left( \alpha \right)\) nên \(\left( C \right)\) là đường tròn có đường kính bằng đường kính mặt cầu \(\left( S \right)\), có độ dài là:

\(IK = \dfrac{1}{3}.AI = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.