Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC}
Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Điểm S thay đổi trên d (S khác A). Gọi H là trực tâm của tam giác SBKhi đó H thuộc một đường tròn cố định, tính đường kính của đường tròn đó.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Chứng minh tập hợp các điểm H là giao của mặt cầu cố định và mặt phẳng cố định.
Gọi K là trực tâm của tam giác ABC; I, J lần lượt là chân đường cao của tam giác SBC ứng với đỉnh S, B.
\( \Rightarrow HK//SA \Rightarrow HK \bot \left( {ABC} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot HK\) (1)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BK \bot AC\\BK \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BK \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BK \bot SC\)
Mà \(SC \bot BH \Rightarrow SC \bot \left( {BHK} \right) \Rightarrow SC \bot HK\) (2)
Từ (1), (2) suy ra \(HK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow HK \bot HI \Rightarrow H\) thuộc mặt cầu (S) có đường kính là IK. (Mặt cầu này là cố định do I, K lần lượt là trung điểm cạnh BC, trực tâm tam giác ABC, đều là các điểm cố định).
Mặt khác H thuộc mặt phẳng cố định là \(\left( \alpha \right)\) (mặt phẳng chứa AI và vuông góc với (ABC).
\( \Rightarrow H \in \left( C \right)\) là đường tròn giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( S \right)\).
Do đường kính \(IK \in \left( \alpha \right)\) nên \(\left( C \right)\) là đường tròn có đường kính bằng đường kính mặt cầu \(\left( S \right)\), có độ dài là:
\(IK = \dfrac{1}{3}.AI = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
