Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _3}\dfrac{{x + 4y}}{{x + y}} = 2x - y + 1\). Tìm giá

Câu hỏi số 342031:

Vận dụng

Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _3}\dfrac{{x + 4y}}{{x + y}} = 2x - y + 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{3{x^4}y + 2xy + 2{y^2}}}{{x{{\left( {x + y} \right)}^2}}}\).

A. \(\dfrac{1}{4}\).

B. \(\dfrac{3}{2}\).

C. \(2\).

D. \(\dfrac{1}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:342031

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đánh giá nghiệm.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _3}\dfrac{{x + 4y}}{{x + y}} = 2x - y + 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 4y} \right) - {\log _3}\left( {x + y} \right) = 2x - y + 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 4y} \right) + x + 4y = {\log _3}\left( {3x + 3y} \right) + 3x + 3y\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t,\,\,\left( {t > 0} \right) \Rightarrow f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t.\ln 3}} + 1 > 0,\,\,\forall t > 0 \Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Khi đó, (*) \( \Leftrightarrow f\left( {x + 4y} \right) = f\left( {3x + 3y} \right) \Leftrightarrow x + 4y = 3x + 3y \Leftrightarrow y = 2x\)

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{3{x^4}y + 2xy + 2{y^2}}}{{x{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \dfrac{{3{x^4}.2x + 2x.2x + 2{{\left( {2x} \right)}^2}}}{{x{{\left( {x + 2x} \right)}^2}}} = \dfrac{{6{x^5} + 12{x^2}}}{{9{x^3}}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2{x^3} + 4}}{{3x}} = \dfrac{{2{x^2}}}{3} + \dfrac{4}{{3x}} = \dfrac{{2{x^2}}}{3} + \dfrac{2}{{3x}} + \dfrac{2}{{3x}} \ge 3\,\sqrt[3]{{\dfrac{{2{x^2}}}{3}.\dfrac{2}{{3x}}.\dfrac{2}{{3x}}}} = 2\end{array}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{2{x^2}}}{3} = \dfrac{2}{{3x}} \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 2\)

Vậy \(\min P = 2\) khi và chỉ khi \(x = 1,y = 2\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.