Cho hàm số \(y = - {x^3} + 2\left( {m + 1} \right){x^2} - 3\left( {{m^2} - 1} \right)\,x + 2\,\)có đồ thị

Câu hỏi số 342385:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = - {x^3} + 2\left( {m + 1} \right){x^2} - 3\left( {{m^2} - 1} \right)\,x + 2\,\)có đồ thị \(\,\left( {{C_m}} \right)\). Gọi \(M\) là điểm thuộc đồ thị có hoành độ \({x_M} = 1\). Có bao nhiêu giá trị thực của tham số \(m\) sao cho tiếp tuyến của \(\left( {{C_m}} \right)\) tại điểm \(M\) song song với đường thẳng \(y = - 3x + 4\).

A. \(0\)

B. \(3\)

C. \(2\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:342385

Phương pháp giải

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

Tiếp tuyến song song với đường thẳng \(d:y = ax + b\) thì \(f'\left( {{x_0}} \right) = a\)

Từ đó ta tìm được \({x_0}\) và suy ra các tiếp tuyến thỏa mãn.

Giải chi tiết

Đặt \(y = f\left( x \right) = - {x^3} + 2\left( {m + 1} \right){x^2} - 3\left( {{m^2} - 1} \right)\,x + 2\,\) suy ra \(f\left( 1 \right) = - 1 + 2m + 2 - 3{m^2} + 3 + 2 = - 3{m^2} + 2m + 6\)

Ta có \(f'\left( x \right) = - 3{x^2} + 4\left( {m + 1} \right)x - 3\left( {{m^2} - 1} \right)\)

\( \Rightarrow f'\left( 1 \right) = - 3 + 4m + 4 - 3{m^2} + 3 = - 3{m^2} + 4m + 4\)

Để tiếp tuyến tại \(M\) có hoành độ \({x_M} = 1\) song song với đường thẳng \(y = - 3x + 4\) thì \(f'\left( 1 \right) = - 3 \Leftrightarrow - 3{m^2} + 4m + 4 = - 3 \Leftrightarrow 3{m^2} - 4m - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = \frac{7}{3}\end{array} \right.\)

+ Với \(m = - 1\) thì \(f\left( 1 \right) = - 3{\left( { - 1} \right)^2} + 2\left( { - 1} \right) + 6 = 1\) \( \Rightarrow M\left( {1;1} \right)\)

Phương trình tiếp tuyến tại \(M\left( {1;1} \right)\) là \(y = - 3\left( {x - 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y = - 3x + 4\) (loại vì trùng với đường thẳng \(y = - 3x + 4\))

+ Với \(m = \frac{7}{3}\) thì \(f\left( x \right) = - {x^3} + \frac{{20}}{3}{x^2} - \frac{{40}}{3}x + 2\) suy ra \(f\left( 1 \right) = \frac{{ - 17}}{3} \Rightarrow M\left( {1; - \frac{{17}}{3}} \right)\)

Phương trình tiếp tuyến tại \(M\left( {1; - \frac{{17}}{3}} \right)\) là \(y = - 3\left( {x - 1} \right) - \frac{{17}}{3} \Leftrightarrow y = - 3x - \frac{8}{3}\) (nhận)

Vậy có 1 giá trị của \(m\) thỏa mãn đề bài là \(m = \frac{7}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.