Tìm các nghiệm nguyên \(\left( {x;\,\,y} \right)\) của phương trình \(\sqrt x + \sqrt y = \sqrt {2020}

Câu hỏi số 343497:

Vận dụng

Tìm các nghiệm nguyên \(\left( {x;\,\,y} \right)\) của phương trình \(\sqrt x + \sqrt y = \sqrt {2020} .\)

A. \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {2020;\,\,1} \right);\,\,\left( {1010;\,\,1010} \right);\,\,\left( {1;\,\,2020} \right)} \right\}.\)

B. \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {1010;\,\,0} \right);\,\,\left( {505;\,\,505} \right);\,\,\left( {0;\,\,1010} \right)} \right\}.\)

C. \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {1010;\,\,1} \right);\,\,\left( {1010;\,\,1010} \right);\,\,\left( {1;\,\,1010} \right)} \right\}.\)

D. \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {2020;\,\,0} \right);\,\,\left( {505;\,\,505} \right);\,\,\left( {0;\,\,2020} \right)} \right\}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:343497

Phương pháp giải

Đặt điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa.

Biến đổi phương trình và sử dụng điều kiện \(x,\,\,y \in \mathbb{Z}\) để giải phương trình.

Giải chi tiết

Tìm các nghiệm nguyên \(\left( {x;\,\,y} \right)\) của phương trình \(\sqrt x + \sqrt y = \sqrt {2020} .\)

Điều kiện: \(x \ge 0;\,\,y \ge 0.\)

Theo đề bài ta có: \(\sqrt x + \sqrt y = \sqrt {2020} \,\,\,\left( * \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt x = \sqrt {2020} - \sqrt y \Leftrightarrow x = 2020 - 2\sqrt {2020y} + y\\ \Leftrightarrow x = 2020 + y - 4\sqrt {5.101y} \end{array}\)

Vì \(x,\,\,y \in \mathbb{Z} \Rightarrow 4\sqrt {5.101y} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow 5.101y\) là số chính phương.

\( \Rightarrow 5.101y = {k^2}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow y = 5.101{a^2} = 505{a^2}\,\,\,\left( {a \in \mathbb{Z}} \right).\)

Chứng minh tương tự ta có: \(x = 5.101{b^2} = 505{b^2}\,\,\left( {b \in \mathbb{Z}} \right).\)

Thay \(x = 505{b^2}\) và \(y = 505{a^2}\) vào phương trình \(\left( * \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l}\sqrt {505{b^2}} + \sqrt {505{a^2}} = \sqrt {2020} \\ \Leftrightarrow \left| b \right|\sqrt {505} + \left| a \right|\sqrt {505} = 2\sqrt {505} \\ \Leftrightarrow \left| a \right| + \left| b \right| = 2.\end{array}\)

Vì \(a,\,\,b \in \mathbb{Z}\) nên ta có bảng:

Vậy các cặp số nguyên \(\left( {x;\,\,y} \right)\) thỏa mãn bài toán là: \(\left\{ {\left( {2020;\,\,0} \right);\,\,\left( {505;\,\,505} \right);\,\,\left( {0;\,\,2020} \right)} \right\}.\)

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link