Cho hình vuông \(ABCD\) nội tiếp đường tròn tâm \(O,\) bán kính \(R.\) Trên cung nhỏ \(AD\) lấy

Câu hỏi số 343496:

Vận dụng

Cho hình vuông \(ABCD\) nội tiếp đường tròn tâm \(O,\) bán kính \(R.\) Trên cung nhỏ \(AD\) lấy điểm \(E\) bất kì \(\left( {E \ne A,\,\,D} \right).\) Tia \(EB\) cắt các đường thẳng \(AD,\,\,AC\) lần lượt tại \(I\) và\(K.\) Tia \(EC\) cắt các đường thẳng \(DA,\,\,DB\) lần lượt tại \(M\) và \(N.\) Hai đường thẳng \(AN,\,\,DK\) cắt nhau tại \(P.\)

1. Chứng minh: Tứ giác \(EPND\) nội tiếp một đường tròn.

2. Chứng minh: \(\angle EKM = \angle DKM.\)

3. Khi \(M\) là trung điểm của \(AD,\) tính độ dài đoạn thẳng \(AE\) theo \(R.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:343496

Phương pháp giải

1. Sử dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác nội tiếp.

2. Dựa vào các tứ giác nội tiếp, chứng minh các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

3. Chứng minh các tam giác đồng dạng, từ đó chứng minh các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ và tính độ dài đoạn thẳng AE theo \(R.\)

Giải chi tiết

1. Chứng minh: Tứ giác \(EPND\) nội tiếp một đường tròn.

Ta có:\(\angle PNE = \angle ANE = \angle NAC + \angle NCA\) (tính chất góc ngoài của tam giác)

Mà \(N \in BD\) là đường trung trực của \(AC \Rightarrow NA = NC \Rightarrow \Delta NAC\) cân tại \(N \Rightarrow \angle NAC = \angle NCA\)

\( \Rightarrow \angle PNE = 2\angle NCA = sd\,\,cung\,\,AE\) (vì \(\angle ACE\) là góc nội tiếp chắn cung \(AE\)) (1)

Ta có:\(\Delta DAK = \Delta BAK\,\,\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow \angle ABK = \angle ADK\) (hai góc tương ứng)

Hay \(\angle ABE = \angle PDA.\)

Mà \(\angle ABE\) cũng là góc nội tiếp chắn cung \(AE \Rightarrow \angle ADP = \angle ABE = \frac{1}{2}\,\,sd\,\,\,cung\,\,\,AE.\)

Lại có: \(\angle EDA = \frac{1}{2}\,\,sd\,\,cung\,\,AE\) (góc nội tiếp chắn cung \(AE\))

\( \Rightarrow \angle EDM = \angle ADE + \angle ADP = sd\,\,\,cung\,\,AE.\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\angle EDP = \angle ENP\,\,\left( { = sd\,\,cung\,\,AE} \right).\)

\( \Rightarrow EDNP\) là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau). (đpcm)

2. Chứng minh: \(\angle EKM = \angle DKM.\)

Xét tứ giác \(AEMK\) ta có: \(\angle KAM = \angle KEM = {45^0}\) cùng nhìn đoạn \(KM\)

\( \Rightarrow AEMK\) là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

\( \Rightarrow \angle MEA = \angle MKA\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AM\)) và \(\angle EAD = \angle EKM\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(EM\)) (3)

Mà \(\angle EAM = \angle AEC = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\))

\( \Rightarrow \angle MEA = \angle MKA = {90^0} \Rightarrow MK \bot AC\)

Mà \(DB \bot AC\,\) (do \(ABCD\) là hình vuông)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow BD//MK\,\,\left( { \bot AC} \right)\\ \Rightarrow \angle MKD = \angle KDB\,\,\,\left( {so\,\,le\,\,\,trong} \right).\end{array}\)

Mà \(K \in AC\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BD \Rightarrow KB = KD \Rightarrow \Delta KBD\) là tam giác cân tại \(K.\)

\( \Rightarrow \angle KBD = \angle KDB = \angle MKD.\) (4)

Lại có: \(\angle EAD = \angle KBD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(ED\)) (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: \(\angle EKM = \angle MKD\left( { = \angle EAM = \angle KBD} \right)\,\,\,\left( {dpcm} \right)\)

3. Khi \(M\) là trung điểm của \(AD,\) tính độ dài đoạn thẳng \(AE\) theo \(R.\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(AD \Rightarrow AM = MD = \frac{1}{2}AD.\)

Xét \(\Delta MDC\) và \(\Delta MEA\) ta có:

\(\angle EMA = \angle DMC\) (hai góc đối đỉnh)

\(\begin{array}{l}\angle AEM = \angle MDC = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta MDC \sim \Delta MEA\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{CD}}{{EA}} = \frac{{MD}}{{ME}} = \frac{{MC}}{{MA}} \Leftrightarrow MD.MA = ME.MC = M{D^2} = \frac{{C{D^2}}}{4}\end{array}\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta MCD\) vuông tại \(D\) ta có:

\(\begin{array}{l}M{C^2} = C{D^2} + M{D^2} = C{D^2} + \frac{{C{D^2}}}{4} = \frac{5}{4}C{D^2}.\\ \Rightarrow MC = \frac{{\sqrt 5 }}{2}CD \Rightarrow ME = \frac{{C{D^2}}}{{4MC}} = \frac{{C{D^2}}}{{4.\frac{{\sqrt 5 }}{2}CD}} = \frac{{CD}}{{2\sqrt 5 }}.\\ \Rightarrow \frac{{CD}}{{EA}} = \frac{{MC}}{{MA}} \Rightarrow EA = \frac{{CD.MA}}{{MC}} = \frac{{CD.\frac{{CD}}{2}}}{{\frac{{\sqrt 5 CD}}{2}}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}CD.\\R = OC = \frac{{CD\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow CD = R\sqrt 2 \Rightarrow EA = \frac{{\sqrt 5 }}{5}CD = \frac{{\sqrt 5 }}{5}.R\sqrt 2 = \frac{{\sqrt {10} }}{2}R.\end{array}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link