Cho hai số thực phân biệt \(a,\,\,b\) thỏa mãn \({a^3} + {b^3} = {a^2}{b^2}\left( {ab - 3} \right).\) Tính

Câu hỏi số 343532:

Vận dụng

Cho hai số thực phân biệt \(a,\,\,b\) thỏa mãn \({a^3} + {b^3} = {a^2}{b^2}\left( {ab - 3} \right).\) Tính giá trị của biểu thức \(T = a + b - ab.\)

A. \(T = 0\) hoặc \(T = 3.\)

B. \(T = 1\) hoặc \(T = - 3.\)

C. \(T = 1\) hoặc \(T = 3.\)

D. \(T = 0\) hoặc \(T = - 3.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:343532

Phương pháp giải

Áp dụng hằng đẳng thức: \({a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\) và giả thiết để làm bài toán.

Giải chi tiết

Cho hai số thực phân biệt \(a,\,\,b\) thỏa mãn \({a^3} + {b^3} = {a^2}{b^2}\left( {ab - 3} \right).\) Tính giá trị của biểu thức \(T = a + b - ab.\)

Ta có: \({a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\)

Theo đề bài có: \({a^3} + {b^3} = {a^2}{b^2}\left( {ab - 3} \right)\)

\( \Rightarrow {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) = {a^2}{b^2}\left( {ab - 3} \right)\,\,\,\left( * \right)\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = x\\ab = y\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {{x^2} \ge 4y} \right).\) Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow {x^3} - 3xy = {y^2}\left( {y - 3} \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3xy = {y^3} - 3{y^2}\\ \Leftrightarrow {x^3} - {y^3} - 3xy + 3{y^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) - 3y\left( {x - y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} - 3y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y = 0\\{x^2} + xy + {y^2} - 3y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} + xy + {y^2} - 3y = 0\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(x = y\) ta có: \(a + b = ab \Rightarrow T = a + b - ab = 0.\)

+) Với \({x^2} + xy + {y^2} - 3y = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\) ta có: \(T = a + b - ab = x - y\)

Ta có: \({x^2} \ge 4y \Rightarrow \frac{3}{4}{x^2} \ge 3y\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 0 = {x^2} + xy + {y^2} - 3y = \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{4} + xy + {y^2} - 3y\\ \Leftrightarrow 0 = \left( {\frac{{{x^2}}}{4} + xy + {y^2}} \right) + \left( {\frac{{3{x^2}}}{4} - 3y} \right)\\ \Leftrightarrow \underbrace {{{\left( {\frac{x}{2} + y} \right)}^2}}_{ \ge 0\,\,\forall x,\,\,y} + \underbrace {\left( {\frac{{3{x^2}}}{4} - 3y} \right)}_{ \ge 0\,\,\,\left( {cmt} \right)} = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{2} + y = 0\\\frac{{3{x^2}}}{4} - 3y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2y\\{x^2} = 4y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2y\\{x^2} + 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow T = x - y = 0\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow T = x - y = - 2 - 1 = - 3.\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy ta có \(T = 0\) hoặc \(T = - 3.\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link