Cho các đa thức: \(P\left( x \right) = {m_1}{x^2} + {n_1}x + {k_1},\,\,Q\left( x \right) = {m_2}{x^2} + {n_2}x +

Câu hỏi số 343533:

Vận dụng

Cho các đa thức:

\(P\left( x \right) = {m_1}{x^2} + {n_1}x + {k_1},\,\,Q\left( x \right) = {m_2}{x^2} + {n_2}x + {k_2},\,\,R\left( x \right) = {m_3}{x^2} + {n_3}x + {k_3}\)

Với \({m_i},\,\,{n_i},\,\,{k_i}\) là các số thực và \({m_i} > 0,\,\,i = 1;2;3.\) Giả sử phương trình \(P\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({a_1},\,\,{a_2}\), phương trình \(Q\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({b_1},\,\,{b_2}\), phương trình \(R\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({c_1},\,\,{c_2}\) thỏa mãn:

\(\begin{array}{l}P\left( {{c_1}} \right) + Q\left( {{c_1}} \right) = P\left( {{c_2}} \right) + Q\left( {{c_2}} \right)\\P\left( {{b_1}} \right) + R\left( {{b_2}} \right) = P\left( {{b_2}} \right) + R\left( {{b_2}} \right)\\Q\left( {{a_1}} \right) + R\left( {{a_2}} \right) = Q\left( {{a_2}} \right) + R\left( {{a_2}} \right)\end{array}\)

Chứng minh \({a_1} + {a_2} = {b_1} + {b_2} = {c_1} + {c_2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:343533

Phương pháp giải

Áp dụng định lí Vi-ét.

Giải chi tiết

Do phương trình \(P\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({a_1},\,\,{a_2}\), phương trình \(Q\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({b_1},\,\,{b_2}\), phương trình \(R\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({c_1},\,\,{c_2}\) nên áp dụng định lí Vi-ét ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{a_1} + {a_2} = - \frac{{{n_1}}}{{{m_1}}}\\{a_1}{a_2} = \frac{{{k_1}}}{{{m_1}}}\end{array} \right.;\,\,\left\{ \begin{array}{l}{b_1} + {b_2} = - \frac{{{n_2}}}{{{m_2}}}\\{b_1}{b_2} = \frac{{{k_2}}}{{{m_2}}}\end{array} \right.;\,\,\left\{ \begin{array}{l}{c_1} + {c_2} = - \frac{{{n_3}}}{{{m_3}}}\\{c_1}{c_2} = \frac{{{k_3}}}{{{m_3}}}\end{array} \right.\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}P\left( {{c_1}} \right) + Q\left( {{c_1}} \right) = P\left( {{c_2}} \right) + Q\left( {{c_2}} \right)\\ \Leftrightarrow {m_1}c_1^2 + {n_1}{c_1} + {k_1} + {m_2}c_1^2 + {n_2}{c_1} + {k_2} = {m_1}c_2^2 + {n_1}{c_2} + {k_1} + {m_2}c_2^2 + {n_2}{c_2} + {k_2}\\ \Leftrightarrow \left( {{m_1} + {m_2}} \right)\left( {c_1^2 - c_2^2} \right) + \left( {{n_1} + {n_2}} \right)\left( {{c_1} - {c_2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{c_1} - {c_2}} \right)\left[ {\left( {{m_1} + {m_2}} \right)\left( {{c_1} + {c_2}} \right) + {n_1} + {n_2}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{m_1} + {m_2}} \right)\left( {{c_1} + {c_2}} \right) + {n_1} + {n_2} = 0\,\,\left( {Do\,\,{c_1} \ne {c_2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{m_1} + {m_2}} \right)\left( {{c_1} + {c_2}} \right) - {m_1}\left( {{a_1} + {a_2}} \right) - {m_2}\left( {{b_1} + {b_2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{m_1} + {m_2}} \right)\left( {{c_1} + {c_2}} \right) = {m_1}\left( {{a_1} + {a_2}} \right) + {m_2}\left( {{b_1} + {b_2}} \right)\\ \Leftrightarrow {m_1}\left( {{c_1} + {c_2}} \right) + {m_2}\left( {{c_1} + {c_2}} \right) = {m_1}\left( {{a_1} + {a_2}} \right) + {m_2}\left( {{b_1} + {b_2}} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

CMTT ta có:

\(\begin{array}{l}{m_1}\left( {{b_1} + {b_2}} \right) + {m_3}\left( {{b_1} + {b_2}} \right) = {m_1}\left( {{a_1} + {a_2}} \right) + {m_3}\left( {{c_1} + {c_2}} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\\{m_2}\left( {{a_1} + {a_2}} \right) + {m_3}\left( {{a_1} + {a_2}} \right) = {m_2}\left( {{b_1} + {b_2}} \right) + {m_3}\left( {{c_1} + {c_2}} \right)\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)

Cộng chéo vế theo vế của (1) và (2) ta có:

\(\begin{array}{l}{m_1}\left( {{c_1} + {c_2}} \right) + {m_2}\left( {{c_1} + {c_2}} \right) + {m_1}\left( {{a_1} + {a_2}} \right) + {m_3}\left( {{c_1} + {c_2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {m_1}\left( {{a_1} + {a_2}} \right) + {m_2}\left( {{b_1} + {b_2}} \right) + {m_1}\left( {{b_1} + {b_2}} \right) + {m_3}\left( {{b_1} + {b_2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{m_1} + {m_2} + {m_3}} \right)\left( {{c_1} + {c_2}} \right) + {m_1}\left( {{a_1} + {a_2}} \right) = \left( {{m_1} + {m_2} + {m_3}} \right)\left( {{b_1} + {b_2}} \right) + {m_1}\left( {{a_1} + {a_2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{m_1} + {m_2} + {m_3}} \right)\left( {{c_1} + {c_2}} \right) = \left( {{m_1} + {m_2} + {m_3}} \right)\left( {{b_1} + {b_2}} \right)\\ \Leftrightarrow {c_1} + {c_2} = {b_1} + {b_2}\,\,\,\left( * \right)\,\,\left( {Do\,\,{m_1} + {m_2} + {m_3} > 0} \right)\end{array}\)

Cộng chéo vế theo vế của (2) và (3) ta có:

\(\begin{array}{l}{m_1}\left( {{b_1} + {b_2}} \right) + {m_3}\left( {{b_1} + {b_2}} \right) + {m_2}\left( {{b_1} + {b_2}} \right) + {m_3}\left( {{c_1} + {c_2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {m_1}\left( {{a_1} + {a_2}} \right) + {m_3}\left( {{c_1} + {c_2}} \right)\, + {m_2}\left( {{a_1} + {a_2}} \right) + {m_3}\left( {{a_1} + {a_2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{m_1} + {m_2} + {m_3}} \right)\left( {{b_1} + {b_2}} \right) + {m_3}\left( {{c_1} + {c_2}} \right) = \left( {{m_1} + {m_2} + {m_3}} \right)\left( {{a_1} + {a_2}} \right) + {m_3}\left( {{c_1} + {c_2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{m_1} + {m_2} + {m_3}} \right)\left( {{b_1} + {b_2}} \right) = \left( {{m_1} + {m_2} + {m_3}} \right)\left( {{a_1} + {a_2}} \right)\\ \Leftrightarrow {b_1} + {b_2} = {a_1} + {a_2}\,\,\,\left( {**} \right)\,\,\left( {Do\,\,{m_1} + {m_2} + {m_3} > 0} \right)\end{array}\)

Từ (*) và (**) \( \Rightarrow {a_1} + {a_2} = {b_1} + {b_2} = {c_1} + {c_2}\,\,\left( {dpcm} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link