1. Tìm các giá trị nguyên của \(x,\,\,y\) thỏa mãn: \({x^2}{y^2} - 4{x^2}y + {y^3} + 4{x^2} - 3{y^2} + 1 =

Câu hỏi số 343534:

Vận dụng

1. Tìm các giá trị nguyên của \(x,\,\,y\) thỏa mãn:

\({x^2}{y^2} - 4{x^2}y + {y^3} + 4{x^2} - 3{y^2} + 1 = 0.\)

2. Cho ba số nguyên dương \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \({a^3} + {b^3} + {c^3}\) chia hết cho \(14.\) Chứng minh \(abc\) cũng chia hết cho \(14.\)

A. \(1.\,\,\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( { - 1;\,\,1} \right);\,\,\,\left( {1;\,\,1} \right)} \right\}.\)

B. \(1.\,\,\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( { - 1;\,\, - 1} \right);\,\,\,\left( {1;\,\,1} \right)} \right\}.\)

C. \(1.\,\,\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( { - 1;\,\,1} \right);\,\,\,\left( {1;\,\, - 1} \right)} \right\}.\)

D. \(1.\,\,\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {1;\,\, - 1} \right);\,\,\,\left( { - 1;\,\,-1} \right)} \right\}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:343534

Phương pháp giải

1. Sử dụng phương pháp đưa phương trình về ước số.

2. Chứng minh \(abc\,\, \vdots \,\,2\) và \(abc\,\, \vdots \,\,7\).

Giải chi tiết

1. Tìm các giá trị nguyên của \(x,\,\,y\) thỏa mãn: \({x^2}{y^2} - 4{x^2}y + {y^3} + 4{x^2} - 3{y^2} + 1 = 0\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^2}{y^2} - 4{x^2}y + {y^3} + 4{x^2} - 3{y^2} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2}{y^2} - 4{x^2}y + 4{x^2}} \right) + {y^3} - 3{y^2} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {{y^2} - 4y + 4} \right) + y\left( {{y^2} - 4y + 4} \right) + {y^2} - 4y + 4 - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}{\left( {y - 2} \right)^2} + y{\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 3\\ \Leftrightarrow {\left( {y - 2} \right)^2}\left( {{x^2} + y + 1} \right) = 3\end{array}\)

Do \(x,\,\,y \in \mathbb{Z} \Rightarrow {\left( {y - 2} \right)^2} \in \mathbb{Z} \Rightarrow {\left( {y - 2} \right)^2} \in U\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}\).

Do \({\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0\,\,\forall y,\,\,{\left( {y - 2} \right)^2}\) là số chính phương.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {y - 2} \right)^2} = 1\\{x^2} + y + 1 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y - 2 = 1\\{x^2} + y + 1 = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y - 2 = - 1\\{x^2} + y + 1 = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 3\\{x^2} + 4 = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\{x^2} + 2 = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 3\\{x^2} = - 1\,\,\,\left( {loai} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\{x^2} = 1\,\,\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right.\end{array} \right..\) .

Vậy nghiệm nguyên của phương trình trên là \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( { - 1;\,\,1} \right);\,\,\,\left( {1;\,\,1} \right)} \right\}.\)

2. Cho ba số nguyên dương \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \({a^3} + {b^3} + {c^3}\) chia hết cho \(14.\) Chứng minh \(abc\) cũng chia hết cho \(14.\)

Ta có \(\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\,\, \vdots \,\,14 \Rightarrow \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\,\, \vdots \,\,2\).

Do đó trong 3 số \(a,b,c\) xảy ra 2 trường hợp sau:

TH1: cả 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) cùng chẵn \( \Rightarrow abc\,\, \vdots \,\,2\) (1).

TH2: 2 trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) lẻ, số còn lại chẵn \( \Rightarrow abc\,\, \vdots \,\,2\).

Xét các số có dạng:

\(\begin{array}{l}7k \Rightarrow {\left( {7k} \right)^3}\,\, \vdots \,\,7\\7k + 1 \Rightarrow {\left( {7k + 1} \right)^3} \equiv 1\,\,\left( {\bmod 7} \right)\\7k + 2 \Rightarrow {\left( {7k + 2} \right)^3} \equiv 1\,\,\left( {\bmod 7} \right)\\7k + 3 \Rightarrow {\left( {7k + 3} \right)^3} \equiv 6\,\,\left( {\bmod 7} \right)\\7k + 4 \Rightarrow {\left( {7k + 4} \right)^3} \equiv 1\,\,\left( {\bmod 7} \right)\\7k + 5 \Rightarrow {\left( {7k + 5} \right)^3} \equiv 6\,\,\left( {\bmod 7} \right)\\7k + 6 \Rightarrow {\left( {7k + 6} \right)^3} \equiv 6\,\,\left( {\bmod 7} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Để \({a^3} + {b^3} + {c^3}\) chia hết cho 7 thì trong 3 số có 1 số chia hết cho 7, 1 số chia 7 dư 1 và 1 số chia 7 dư 6.

\( \Rightarrow abc\,\, \vdots \,\,7\) (2)

Từ (1) và (2), kết hợp \(\left( {2;7} \right) = 1 \Rightarrow abc\,\, \vdots \,\,14\) (đpcm).

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link