Cho phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 4m = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\) (với \(x\) là ẩn

Câu hỏi số 344945:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 4m = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\) (với \(x\) là ẩn số)

a) Giải phương trình \(\left( 1 \right)\) khi \(m = 1.\)

b) Chứng minh rằng phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(m.\)

c) Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{3}{{{x_1}}} + {x_2} = \frac{3}{{{x_2}}} + {x_1}.\)

A. \(\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,S = \left\{ {1;\,\, - 3} \right\}.\\{\rm{c)}}\,\,m = - 1;m = 3\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,S = \left\{ { - 1;\,\,3} \right\}.\\{\rm{c)}}\,\,m = 1;m = 3\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,S = \left\{ { - 1;\,\, - 3} \right\}.\\{\rm{c)}}\,\,m = 1;m = - 3\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}{\rm{a)}}\,\,S = \left\{ { 1;\,\,3} \right\}.\\{\rm{c)}}\,\,m = - 1;m = - 3\end{array}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:344945

Phương pháp giải

a) Thay \(m = 1\) vào phương trình \(\left( 1 \right)\) rồi giải phương trình bậc hai.

b) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m \Leftrightarrow \Delta ' > 0\,\,\forall m.\)

c) Áp dụng định lí Vi-et và giả thiết bài toán để tìm \(m.\)

Giải chi tiết

a) Giải phương trình \(\left( 1 \right)\) khi \(m = 1.\)

Thay \(m = 1\) vào phương trình \(\left( 1 \right)\) ta được phương trình

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) + \left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 1\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy với \(m = 1\) thì tập nghiệm của phương trình là:\(S = \left\{ { - 1;\,\,3} \right\}.\)

b) Chứng minh rằng phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(m.\)

\({x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 4m = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Có \(\Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} - {m^2} + 4m = {m^2} - 4m + 4 - {m^2} + 4m = 4 > 0\,\,\,\forall m\)

Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(m.\)

c) Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{3}{{{x_1}}} + {x_2} = \frac{3}{{{x_2}}} + {x_1}.\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi giá trị của \(m.\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m - 2} \right) = - 2m + 4\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 4m\end{array} \right..\)

Theo bài ra ta có: \(\frac{3}{{{x_1}}} + {x_2} = \frac{3}{{{x_2}}} + {x_1}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{3}{{{x_1}}} - \frac{3}{{{x_2}}} - {x_1} + {x_2} = 0\,\,\,\,\,\left( {{x_1}{x_2} \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0,m \ne 4} \right)\\ \Leftrightarrow 3\left( {\frac{1}{{{x_1}}} - \frac{1}{{{x_2}}}} \right) + \left( {{x_2} - {x_1}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{3\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}} + \left( {{x_2} - {x_1}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {\frac{3}{{{x_1}{x_2}}} + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{3}{{{x_1}{x_2}}} + 1 = 0\,\,\,\left( {do\,\,\,{x_1} \ne {x_2} \Rightarrow {x_2} - {x_1} \ne 0} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{3}{{{m^2} - 4m}} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 3m - m + 3 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 3} \right) - \left( {m - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 3 = 0\\m - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\,\left( {tm} \right)\\m = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = 1;m = 3\) là các giá trị thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link