Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB.\) Trên đường tròn \(\left( O \right)\) lấy điểm \(C\)

Câu hỏi số 344948:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB.\) Trên đường tròn \(\left( O \right)\) lấy điểm \(C\) không trùng \(B\) sao cho \(AC > BC.\) Các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A\) và tại\(C\) cắt nhau tại \(D.\) Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) trên \(AB,\,\,\,E\) là giao điểm của hai đường thẳng \(OD\) và \(AC.\)

a) Chứng minh \(OECH\) là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi \(F\) là giao điểm của hai đường thẳng \(CD\) và \(AB.\) Chứng minh \(2\angle BCF + \angle CFB = {90^0}.\)

c) Gọi \(M\) là giao điểm của hai đường thẳng \(BD\) và \(CH.\) Chứng minh hai đường thẳng \(EM\) và \(AB\) song song với nhau.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:344948

Phương pháp giải

a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác nội tiếp.

b) Trong một đường tròn, góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung thì bằng nhau.

c) Sử dụng tính chất đường trung bình để chứng minh song song.

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(OECH\) là tứ giác nội tiếp.

Ta có: \(CH \bot AB = \left\{ H \right\} \Rightarrow \angle CHO = {90^0}.\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có:

\(AD = CD\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\(OA = OC\,\,\left( { = R} \right)\)

\( \Rightarrow OD\) là đường trung trực của \(AC.\)

\( \Rightarrow OD \bot AC = \left\{ E \right\} \Rightarrow \angle CEO = {90^0}\)

Xét tứ giác \(OECH\) ta có: \(\angle CEO + \angle CHO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow OECH\) là tứ giác nội tiếp. (Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({180^0}\))

b) Gọi \(F\) là giao điểm của hai đường thẳng \(CD\) và \(AB.\) Chứng minh \(2\angle BCF + \angle CFB = {90^0}.\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có:

\(\angle BAC = \angle BCF\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(BC\)) (1)

Xét \(\Delta CBA\) và \(\Delta HBC\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle CBA\,\,chung\\\angle BCA = \angle CHB = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta CBA \sim \Delta HBC\,\,\,\left( {g - g} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle BAC = \angle HCB\,\,\,\,\left( 2 \right)\) (hai góc tương ứng).

Từ (1) và (2) suy ra: \(\angle BCF = \angle HCB\)

Mặt khác ta có: \(\Delta CHF\) vuông tại H (do \(CH \bot AB\) ) khi đó ta có:

\(\angle HCF + \angle CFH = {90^0} \Leftrightarrow 2\angle BCF + \angle CFB = {90^0}\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

c) Gọi \(M\) là giao điểm của hai đường thẳng \(BD\) và \(CH.\) Chứng minh hai đường thẳng \(EM\) và \(AB\) song song với nhau.

Gọi \(K\) là giao điểm của \(DB\) và \(AC.\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có: \(\angle ABC = \angle ACD\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(AC\))

Ta có: \(\Delta ACH\) vuông tại \(H \Rightarrow \angle ACH + \angle CAH = {90^0}.\)

\(\Delta ABC\) vuông tại \(C \Rightarrow \angle CAB + \angle CBA = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle ACH = \angle ABC\) (cùng phụ với \(\angle CAH\))

\( \Rightarrow \angle CAH = \angle DCA = \angle DCK\,\,\left( { = \angle CBA} \right)\)

\( \Rightarrow CK\) là phân giác trong của \(\angle DCM\) trong \(\Delta CDM.\)

Lại có: \(\angle BCF = \angle BCH = \angle BCM\,\,\,\left( {cm\,\,b} \right)\)

\( \Rightarrow BC\) là phân giác ngoài của \(\angle DCM\) trong \(\Delta DCM.\)

Áp dụng tính chất tia phân giác của tam giác trong \(\Delta DCM\) ta có: \(\frac{{KM}}{{KD}} = \frac{{BM}}{{BD}} = \frac{{CM}}{{CD}}.\)

Lại có: \(AC = AD\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \frac{{KM}}{{KD}} = \frac{{BM}}{{BD}} = \frac{{CM}}{{AD}}.\)

Ta có: \(CH//AD\,\,\left( { \bot AB} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{HM}}{{AD}} = \frac{{BM}}{{BD}}\) (định lý Ta-let)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{HM}}{{AD}} = \frac{{CM}}{{AD}} = \frac{{BM}}{{BD}}\\ \Rightarrow HM = CM\end{array}\)

\( \Rightarrow M\) là trung điểm của \(CH.\)

Mà \(E\) là trung điểm của \(CA\,\,\) (\(OD\) là trung trực của \(AC\))

\( \Rightarrow ME\) là đường trung bình của \(\Delta CAH.\) (định nghĩa đường trung bình)

\( \Rightarrow ME//AH\,\,\,hay\,\,\,ME//AB.\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link