Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z + 8 = 0\) và

Câu hỏi số 345653:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z + 8 = 0\) và đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{y + 3}}{5} = \dfrac{{z - 1}}{{12}}\). Hỏi có bao nhiêu mặt cầu đi qua điểm \(A\left( { - 3;5;12} \right)\), tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\Delta \)?

A. \(1\)

B. \(2\)

C. Vô số

D. \(3\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:345653

Phương pháp giải

Mặt cầu tâm \(I\) đi qua \(A\), tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\Delta \) \( \Leftrightarrow IA = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,\Delta } \right)\).

Giải chi tiết

Ta thấy : \(A\left( { - 3;5;12} \right) \in \left( P \right)\) nên \(A\) là tiếp điểm của \(\left( P \right)\) với mặt cầu \(\left( S \right)\)\( \Rightarrow \)\(IA \bot \left( P \right)\).

Đường thẳng \(IA\) đi qua \(A\) và vuông góc \(\left( P \right)\) nên \(IA:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 2t\\y = 5 + 2t\\z = 12 - t\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 3 + 2t;5 + 2t;12 - t} \right)\).

Có \(\overrightarrow {IA} = \left( { - 2t; - 2t;t} \right) \Rightarrow IA = \left| {3t} \right|\).

\(\Delta \) đi qua \(M\left( {2; - 3;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( { - 3;5;12} \right)\) làm VTCP nên

\(d\left( {I,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {29t + 41} \right)}^2} + {{\left( {21t - 27} \right)}^2} + {{\left( {16t - 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {178} }}\)

Mà \(IA = d\left( {I,\Delta } \right) \Rightarrow \dfrac{{\sqrt {{{\left( {29t + 41} \right)}^2} + {{\left( {21t - 27} \right)}^2} + {{\left( {16t - 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {178} }} = 3\left| t \right|\)

\( \Leftrightarrow 1538{t^2} + 1212t + 2411 = 1602{t^2} \Leftrightarrow 64{t^2} - 1212t - 2411 = 0\).

Phương trình trên có hai nghiệm \(t\) phân biệt nên có hai điểm \(I\) và suy ra có \(2\) mặt cầu.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.