Trong không gian \(Oxyz\), cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có \(A'\left( {\sqrt 3 ; - 1;1}
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có \(A'\left( {\sqrt 3 ; - 1;1} \right)\), hai đỉnh \(B,C\) thuộc trục \(Oz\) và \(AA' = 1\) (\(C\) không trùng với \(O\)). Biết véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {a;b;2} \right)\) với \(a,b \in \mathbb{R}\) là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(A'C\). Tính \(T = {a^2} + {b^2}\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Tìm tọa độ trung điểm \(M\) của \(BC\) (giao của \(BC\) với mặt phẳng qua \(A'\) và vuông góc với \(BC\))
- Tính độ dài của \(BC\) và tìm tọa độ hai điểm đó, từ đó suy ra kết luận.
Phương trình \(BC \equiv Oz:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = t\end{array} \right.\).
Mặt phẳng \(\left( {AMM'A'} \right)\) đi qua \(A'\) và vuông góc với \(BC\) nên \(\left( {AMM'A'} \right)\) đi qua \(A'\left( {\sqrt 3 ; - 1;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) làm VTPT hay \(\left( {AMM'A'} \right):0\left( {x - \sqrt 3 } \right) + 0\left( {y + 1} \right) + 1\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow z = 1\).
\(M = BC \cap \left( {AMM'A'} \right) \Rightarrow t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M\left( {0;0;1} \right)\)
Mà \(AA' = 1,A'M = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2}} = 2\) \( \Rightarrow AM = \sqrt {A'{M^2} - A'{A^2}} = \sqrt {{2^2} - {1^2}} = \sqrt 3 \).
Tam giác \(ABC\) đều có độ dài đường cao \(AM = \dfrac{{BC\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \Rightarrow BC = 2\)
Gọi \(B\left( {0;0;m} \right),C\left( {0;0;n} \right)\) với \(n \ne 0\) thì \(BC = 2 \Leftrightarrow \left| {m - n} \right| = 2\) và \(M\left( {0;0;1} \right)\) là trung điểm \(BC \Leftrightarrow \dfrac{{m + n}}{2} = 1 \Leftrightarrow m + n = 2\).
Khi đó \(m = 0,n = 2\) vì \(n \ne 0\) hay \(C\left( {0;0;2} \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {A'C} = \left( { - \sqrt 3 ;1;1} \right)\) hay \(2\overrightarrow {AC'} = \left( { - 2\sqrt 3 ;2;2} \right)\) là một VTCP của \(A'C\).
Suy ra \(a = - 2\sqrt 3 ,b = 2 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( { - 2\sqrt 3 } \right)^2} + {2^2} = 16\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
