Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(O\), \(AB = a\), \(BC = a\sqrt 3 \). Tam
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(O\), \(AB = a\), \(BC = a\sqrt 3 \). Tam giác \(ASO\) cân tại \(S\), mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), góc giữa \(SD\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(60^\circ \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(AC\) bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz.
\(d\left( {{d_1};{d_2}} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}\)
Gọi I là trung điểm của OA, dựng SH vuông góc AD. Do \(\left( {SAD} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot OA\).
Mà \(SI \bot OA\) (do \(\Delta SOA\) cân tại \(S\)) \( \Rightarrow OA \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow OA \bot HI\).
Ta có: \(AB = a,\,\,BC = a\sqrt 3 \Rightarrow \widehat {DAC} = {30^0} \Rightarrow AH = \dfrac{{AI}}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {{a^2} + 3{a^2}} }}{4}}}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow AH = \dfrac{1}{3}AD\).
Có \(SD\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(60^\circ \Rightarrow \widehat {SDH} = {60^0} \Rightarrow SH = \sqrt 3 DH = \sqrt 3 .\dfrac{2}{3}.\sqrt 3 a = 2a\)
Ta gắn hệ trục Oxyz như hình vẽ.
Trong đó, \(S\left( {0;0;2a} \right),B\left( { - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a;a;0} \right),\,A\left( { - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a;0;0} \right),C\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}a;a;0} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {SB} = \left( { - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a;a; - 2a} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {\sqrt 3 a;a;0} \right),\,\,\overrightarrow {AB} = \left( {0;a;0} \right)\)
Đường thẳng \(SB\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - \sqrt 3 ;2\sqrt 3 } \right)\), đường thẳng \(AC\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {\sqrt 3 ;1;0} \right)\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 2\sqrt 3 ;6;4} \right)\\ \Rightarrow d\left( {SB;AC} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = \dfrac{{\left| {0 + 6a + 0} \right|}}{{\sqrt {12 + 36 + 16} }} = \dfrac{{3a}}{4}.\end{array}\)
Chọn: A
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
