Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\) và
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\) và điểm \(A\left( {2;2;2} \right)\). Từ \(A\) kẻ ba tiếp tuyến \(AB,\,\,AC,\,\,AD\) với \(B,\,\,C,\,\,D\) là các tiếp điểm. Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\)
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
+) Chứng minh \(AI \bot \left( {BCD} \right)\) với \(I\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\).
+) Gọi \(H = AI \cap \left( {BCD} \right)\), sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, xác định tỉ số \(\dfrac{{AH}}{{AI}}\), từ đó tìm điểm \(H\).
+) \(\left( {BCD} \right)\) đi qua \(H\left( {\dfrac{8}{9};\dfrac{8}{9};\dfrac{{13}}{9}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {IA} = \left( {2;2;1} \right)\) là 1 VTPT.
Gọi \(I\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\); \(H = AI \cap \left( {BCD} \right)\). Ta có \(I\left( {0;0;1} \right)\); \(R = 2\).
Áp dụng tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta có: \(AB = AC = AD \Rightarrow A\) thuộc trục của mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\).
Ta có \(OB = OC = OD = R \Rightarrow O\) thuộc trục của mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\).
\( \Rightarrow IA \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow IH \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD\).
Ta có \(AH \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AH \bot BH \Rightarrow BH \bot AI\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABI\), đường cao \(BH\) ta có :
\(\begin{array}{l}A{B^2} = AH.AI \Leftrightarrow \dfrac{{AH}}{{AI}} = \dfrac{{A{B^2}}}{{A{I^2}}} = \dfrac{{A{I^2} - B{I^2}}}{{A{I^2}}} = \dfrac{{{2^2} + {2^2} + {1^2} - {2^2}}}{{{2^2} + {2^2} + {1^2}}} = \dfrac{5}{9}\\ \Rightarrow AH = \dfrac{5}{9}AI \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} = \dfrac{5}{9}\overrightarrow {AI} = \dfrac{5}{9}\left( { - 2; - 2; - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} - 2 = - \dfrac{{10}}{9}\\{y_H} - 2 = - \dfrac{{10}}{9}\\{z_H} - 2 = \dfrac{{ - 5}}{9}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = \dfrac{8}{9}\\{y_H} = \dfrac{8}{9}\\{z_H} = \dfrac{{13}}{9}\end{array} \right. \Leftrightarrow H\left( {\dfrac{8}{9};\dfrac{8}{9};\dfrac{{13}}{9}} \right)\end{array}\)
Vậy \(\left( {BCD} \right)\) đi qua \(H\left( {\dfrac{8}{9};\dfrac{8}{9};\dfrac{{13}}{9}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {IA} = \left( {2;2;1} \right)\) là 1 VTPT có phương trình :
\(2\left( {x - \dfrac{8}{9}} \right) + 2\left( {y - \dfrac{8}{9}} \right) + 1\left( {z - \dfrac{{13}}{9}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y + z - 5 = 0\).
Chọn D
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
