Cho tam giác \(ABC\) đều tâm O. M là điểm tùy ý trong tam giác. Hạ MD, ME, MF tương ứng vuông góc

Câu hỏi số 349743:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) đều tâm O. M là điểm tùy ý trong tam giác. Hạ MD, ME, MF tương ứng vuông góc với BC, CA, AB. Chọn khẳng định đúng?

A. \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{1}{2}\overrightarrow {MO} \)

B. \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = 2\overrightarrow {MO} \)

C. \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \)

D. \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = 3\overrightarrow {MO} \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:349743

Phương pháp giải

Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh D ABC. Sử dụng tính chất tam giác đều và quy tắc hình bình hành để biến đổi.

Giải chi tiết

Qua \(M\) kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của \(\Delta ABC:\) \({F_1},\,\,{F_2} \in AB;\,\,\,{E_1},\,\,{E_2} \in AC,\,\,\,{D_1},\,\,{D_2} \in BC\) sao cho \({F_1}{D_2}//DC,\,\,{D_1}{E_2}//AB,\,\,\,{F_2}{E_1}//BC.\)

Dễ thấy các tam giác đều \(M{D_1}{D_2},\,\,M{E_1}{E_2},\,\,M{F_1}{F_2}\) và các hình bình hành \(M{F_1}A{E_2},\,\,M{E_1}C{D_2},\,\,M{D_1}B{F_2}\).

Ta có: \(\overrightarrow {MD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{D_1}} + {{\overrightarrow {MD} }_2}} \right),\,\,\overrightarrow {ME} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{E_1}} + \overrightarrow {M{E_2}} } \right),\,\,\overrightarrow {MF} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{F_1}} + \overrightarrow {M{F_2}} } \right)\)

Cộng từng vế 3 đẳng thức và nhóm ta được:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{D_1}} + \overrightarrow {M{D_2}} + \overrightarrow {M{E_1}} + \overrightarrow {M{E_2}} + \overrightarrow {M{F_1}} + \overrightarrow {M{F_2}} } \right)\\ = \frac{1}{2}\left[ {\left( {\overrightarrow {M{D_1}} + \overrightarrow {M{F_2}} } \right) + \left( {\overrightarrow {M{F_1}} + \overrightarrow {M{E_2}} } \right) + \left( {\overrightarrow {M{E_1}} + \overrightarrow {M{D_2}} } \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} } \right)\\ = \frac{1}{2}.3\overrightarrow {MO} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} .\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10