Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm

Câu hỏi số 350152:

Vận dụng

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(B’C’\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AN\) và \(DM\) là:

A. \(\dfrac{{a\sqrt 5 }}{{15}}\)

B. \(\dfrac{{2a\sqrt 5 }}{{15}}\)

C. \(\dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)

D. \(\dfrac{{2a\sqrt 5 }}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:350152

Giải chi tiết

Gọi E là trung điểm của BC ta có: \(NE//BB' \Rightarrow NE \bot \left( {ABCD} \right)\)

Gọi \(I = AE \cap MD\)

Ta có: \(\Delta ABE = \Delta DAM\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow \widehat {BAE} = \widehat {ADM}\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat {BAE} + \widehat {EAD} = \widehat {BAD} = {90^0} \Rightarrow \widehat {EAD} + \widehat {ADM} = {90^0} \Rightarrow \widehat {AID} = {90^0} \Rightarrow AE \bot MD\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}NE \bot MD\,\,\left( {NE \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\AE \bot MD\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MD \bot \left( {ANE} \right)\)

Trong (ANE) kẻ \(IK \bot AN\,\,\left( 1 \right)\)

\(MD \bot \left( {ANE} \right) \supset IK \Rightarrow IK \bot MD\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(IK\)là đường vuông góc chung của AN và MD\( \Rightarrow d\left( {AN;DM} \right) = IK\)

Ta có: \(\Delta AIK \sim \Delta ANE\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{IK}}{{NE}} = \dfrac{{AI}}{{AN}} \Rightarrow IK = \dfrac{{NE.AI}}{{AN}}\)

BENB’ là hình chữ nhật \( \Rightarrow NE = BB' = a\)

Xét tam giác vuông ABE có: \(AE = \sqrt {A{B^2} + B{E^2}} = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

Xét tam giác vuông ANE có: \(AN = \sqrt {A{E^2} + N{E^2}} = \sqrt {\dfrac{{5{a^2}}}{4} + {a^2}} = \dfrac{{3a}}{2}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ADM có: \(\dfrac{1}{{A{I^2}}} = \dfrac{1}{{A{M^2}}} + \dfrac{1}{{A{D^2}}} = \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{5}{{{a^2}}} \Rightarrow AI = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\)

\( \Rightarrow IK = \dfrac{{NE.AI}}{{AN}} = \dfrac{{a.\dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}}}{{\dfrac{{3a}}{2}}} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{{15}}\)

Vậy \(d\left( {AN;DM} \right) = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{{15}}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.