Cho phương trình \(4{x^2} + \left( {{m^2} + 2m - 15} \right)x + {\left( {m + 1} \right)^2} - 20 = 0,\) với \(m\)

Câu hỏi số 350424:

Vận dụng

Cho phương trình \(4{x^2} + \left( {{m^2} + 2m - 15} \right)x + {\left( {m + 1} \right)^2} - 20 = 0,\) với \(m\) là tham số. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn hệ thức: \(x_1^2 + {x_2} + 2019 = 0.\)

A. \(m \in \left\{ { - 90;90} \right\}\)

B. \(m \in \left\{ {99;\,\, - 101} \right\}\)

C. \(m \in \left\{ {89;\,\, - 91} \right\}\)

D. \(m \in \left\{ { - 100;100} \right\}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:350424

Phương pháp giải

+) Phương trình có hai nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta \ge 0.\)

+) Áp dụng định lý Vi-et và hệ thức bài cho để làm bài. Tìm được \(m\), đối chiếu với điều kiện xác định rồi kết luận.

Giải chi tiết

Cho phương trình \(4{x^2} + \left( {{m^2} + 2m - 15} \right)x + {\left( {m + 1} \right)^2} - 20 = 0,\) với \(m\) là tham số. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn hệ thức: \(x_1^2 + {x_2} + 2019 = 0.\)

Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,{x_2} \Leftrightarrow \Delta \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{m^2} + 2m - 15} \right)^2} - 16\left[ {{{\left( {m + 1} \right)}^2} - 20} \right] \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {m + 1} \right)}^2} - 16} \right]^2} - 16{\left( {m + 1} \right)^2} + 320 \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^4} - 32{\left( {m + 1} \right)^2} + 256 - 16{\left( {m + 1} \right)^2} + 320 \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^4} - 48{\left( {m + 1} \right)^2} + 576 \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^4} - 2.24{\left( {m + 1} \right)^2} + {24^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {m + 1} \right)}^2} - 24} \right]^2} \ge 0\,\,\,\,\forall m.\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{{{m^2} + 2m - 15}}{4} = - \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2} - 16}}{4} = - \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{4} + 4\\{x_1}{x_2} = \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2} - 20}}{4} = \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{4} - 5\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow {x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2} = - 1\,\,\,\left( * \right)\)

Theo đề bài ta có: \(x_1^2 + {x_2} + 2019 = 0 \Leftrightarrow {x_2} = - x_1^2 - 2019\).

Thay vào \(\left( * \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x_1} - x_1^2 - 2019 + {x_1}\left( { - x_1^2 - 2019} \right) = - 1 \Leftrightarrow {x_1} - x_1^2 - 2019 - x_1^3 - 2019{x_1} = - 1\\ \Leftrightarrow x_1^3 + x_1^2 + 2018{x_1} + 2018 = 0 \Leftrightarrow x_1^2\left( {{x_1} + 1} \right) + 2018\left( {{x_1} + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {x_1^2 + 2018} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_1} + 1 = 0\,\,\,\left( {x_1^2 + 2018 > 0\,\,\forall {x_1}} \right)\\ \Leftrightarrow {x_1} = - 1 \Rightarrow {x_2} = - 1 - 2019 = - 2020.\end{array}\)

Mặt khác \({x_1}{x_2} = \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{4} - 5\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2020 = \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{4} - 5 \Leftrightarrow 2025.4 = {\left( {m + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = 8100 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 90\\m + 1 = - 90\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 89\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = - 91\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m \in \left\{ {89;\,\, - 91} \right\}\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link