Xét các số phức \(z\)thoả mãn \(\left| z \right| = \sqrt 2 \). Trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), tập

Câu hỏi số 350668:

Vận dụng

Xét các số phức \(z\)thoả mãn \(\left| z \right| = \sqrt 2 \). Trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(w = \dfrac{{5 + iz}}{{1 + z}}\) là một đường tròn có bán kính bằng

A. \(52\)

B. \(2\sqrt {13} \)

C. \(2\sqrt {11} \)

D. \(44\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:350668

Phương pháp giải

+) Cô lập \(z\), thay vào điều kiện \(\left| z \right| = \sqrt 2 \).

+) Đặt \(w = x + yi\), tìm mối liên hệ giữa \(x;\,\,y\) và kết luận.

Giải chi tiết

Ta có \(w = \dfrac{{5 + iz}}{{1 + z}} \Leftrightarrow w\left( {1 + z} \right) = 5 + iz \Leftrightarrow w + wz = 5 + iz \Leftrightarrow z\left( {w - i} \right) = 5 - w\).

Nếu \(w = i \Leftrightarrow 0.z = 5 - i \Leftrightarrow 0 = 5 - i\) (vô lý) \( \Rightarrow w \ne i\)\( \Rightarrow z = \dfrac{{5 - w}}{{w - i}}\).

Theo bài ra ta có:

\(\left| z \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{5 - w}}{{w - i}}} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {5 - w} \right| = \sqrt 2 \left| {w - i} \right|\).

Đặt \(w = x + yi\) ta có: \(\left| {5 - x - yi} \right| = \sqrt 2 \left| {x + yi - i} \right|\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {5 - x} \right)^2} + {y^2} = 2\left[ {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \right]\\ \Leftrightarrow {x^2} - 10x + 25 + {y^2} = 2{x^2} + 2{y^2} - 4y + 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 10x - 4y - 23 = 0\end{array}\)

Ta có \({a^2} + {b^2} - c = {5^2} + {2^2} + 23 = 52 > 0 \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w\) là một đường tròn có bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} = \sqrt {52} = 2\sqrt {13} \).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.