Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên R. Biết \(f\left( 3 \right) = 1\) và

Câu hỏi số 350669:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên R. Biết \(f\left( 3 \right) = 1\) và \(\int\limits_0^1 {xf\left( {3x} \right)dx = 1} \), khi đó \(\int\limits_0^3 {{x^2}f'\left( x \right)dx} \) bằng:

A. \(3\)

B. \(7\)

C. \( - 9\)

D. \(\dfrac{{25}}{3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:350669

Phương pháp giải

+) Sử dụng phương pháp đổi biến tìm \(\int\limits_0^3 {2xf\left( x \right)dx} \).

+) Sử dụng công thức \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\).

Giải chi tiết

Xét \(\int\limits_0^1 {xf\left( {3x} \right)dx = 1} \).

Đặt \(t = 3x \Leftrightarrow dt = 3dx\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = 3\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {xf\left( {3x} \right)dx} = 1 \Leftrightarrow \int\limits_0^3 {\dfrac{t}{3}f\left( t \right)\dfrac{{dt}}{3}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{9}\int\limits_0^3 {tf\left( t \right)dt} = 1\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^3 {tf\left( t \right)dt} = 9 \Leftrightarrow 2\int\limits_0^3 {xf\left( x \right)dx} = 18 \Rightarrow \int\limits_0^3 {2xf\left( x \right)dx} = 18\end{array}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^3 {\left[ {{x^2}f'\left( x \right) + 2xf\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_0^3 {{x^2}f'\left( x \right)dx} + \int\limits_0^3 {2xf\left( x \right)dx} \\ \Leftrightarrow \int\limits_0^3 {\left( {{x^2}f\left( x \right)} \right)'dx} = \int\limits_0^3 {{x^2}f'\left( x \right)dx} + 18\\ \Leftrightarrow \left. {{x^2}f\left( x \right)} \right|_0^3 = \int\limits_0^3 {{x^2}f'\left( x \right)dx} + 18\\ \Leftrightarrow 9f\left( 3 \right) = \int\limits_0^3 {{x^2}f'\left( x \right)dx} + 18\\ \Leftrightarrow 9.1 = \int\limits_0^3 {{x^2}f'\left( x \right)dx} + 18\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^3 {{x^2}f'\left( x \right)dx} = 9 - 18 = - 9\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.