Cho hàm số \(f\left( x \right)\). Biết \(f\left( 0 \right) = 4\) và \(f'\left( x \right) = 2{\sin ^2}x +

Câu hỏi số 351142:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\). Biết \(f\left( 0 \right) = 4\) và \(f'\left( x \right) = 2{\sin ^2}x + 1,\forall x \in \mathbb{R}\), khi đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} \) bằng

A. \(\dfrac{{{\pi ^2} + 15\pi }}{{16}}\)

B. \(\dfrac{{{\pi ^2} + 16\pi - 16}}{{16}}\)

C. \(\dfrac{{{\pi ^2} + 16\pi - 4}}{{16}}\)

D. \(\dfrac{{{\pi ^2} - 4}}{{16}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:351142

Phương pháp giải

- Tìm hàm số \(f\left( x \right)\) bàng cách lấy nguyên hàm của \(f'\left( x \right)\) và thay \(f\left( 0 \right) = 4\).

- Tính tích phân đã cho và kết luận.

Giải chi tiết

Ta có : \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {2{{\sin }^2}x + 1} \right)dx} = \int {\left( {2 - \cos 2x} \right)dx} = 2x - \dfrac{{\sin 2x}}{2} + C\)

Do \(f\left( 0 \right) = 4 \Rightarrow C = 4 \Rightarrow f\left( x \right) = 2x - \dfrac{{\sin 2x}}{2} + 4\).

Suy ra \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2x - \dfrac{{\sin 2x}}{2} + 4} \right)dx} = \left. {\left( {{x^2} + \dfrac{{\cos 2x}}{4} + 4x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \dfrac{{{\pi ^2} + 16\pi - 4}}{{16}}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.