Cho tam giác \(ABC\,\left( {AB < AC} \right)\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O

Câu hỏi số 353790:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\,\left( {AB < AC} \right)\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) Lấy các điểm \(P,Q\) lần lượt thuộc các cung nhỏ \(AC\) và \(AB\) sao cho \(BP\) vuông góc với \(AC,CQ\) vuông góc với \(AB.\) Gọi \(I,J\) lần lượt là giao điểm của \(PQ\) với \(AB\) và \(AC.\) Chứng minh \(IJ.AC = AI.CB.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:353790

Phương pháp giải

+ Góc có đỉnh bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn

+ Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn.

+ Chứng minh hai tam giác \(AIJ\) và tam giác \(ACB\) đồng dạng để suy ra hệ thức cần chứng minh.

Giải chi tiết

Gọi \(BP \cap AC = \left\{ D \right\};\,\,AB \cap CQ = \left\{ E \right\}.\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có:

\(\angle BDC = \frac{1}{2}\,\,\,\left( {sd\,\,cung\,\,\,BC + \,\,sd\,\,AP} \right)\)

\(\angle BEC = \frac{1}{2}\left( {sd\,\,cung\,\,BC + \,\,sd\,\,\,AQ} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\) (góc có đỉnh bên trong đường tròn)

Mà theo giả thiết thì \(BD \bot AC\) tại \(D,\) \(CQ \bot AB\) tại \(E \Rightarrow \angle BDC = \angle BEC = {90^0}\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(sd\,\,cung\,\,AP = sd\,\,\,cung\,\,\,AQ\,\,\,\,\left( 3 \right).\)

Ta lại có: \(\angle AIJ = \frac{1}{2}\left( {sd\,\,cung\,\,\,BQ + sd\,\,\,cung\,\,\,AP} \right)\,\,\,\left( 4 \right)\) (góc có đỉnh bên trong đường tròn)

Và \(\angle ACB = \frac{1}{2}sd\,\,cung\,\,\,AB = \frac{1}{2}\left( {sd\,\,\,cung\,\,BQ + sd\,\,\,cung\,\,AQ} \right)\,\,\,\,\left( 5 \right)\) (góc nội tiếp chắn cung \(AB\))

Từ (3), (4), (5) suy ra \(\angle ACB = \angle AIJ\)

Xét \(\Delta AIJ\) và \(\Delta ACB\) có:

\(\begin{array}{l}\angle A\,\,\,chung\\\angle ACB = \angle AIJ\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta AIJ \sim \Delta ACB\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AI}}{{AC}} = \frac{{IJ}}{{BC}} \Leftrightarrow AI.BC = IJ.AC\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link