Từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) kẻ các tiếp tuyến \(AB,AC\) đến

Câu hỏi số 353791:

Vận dụng

Từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) kẻ các tiếp tuyến \(AB,AC\) đến đường tròn \((B,C\) là tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(OA\) và \(BC\).

a) Chứng minh \(O{B^2} = OH.OA\)

b) \(EF\) là một dây cung của \(\left( O \right)\) đi qua \(H\) sao cho \(A,E,F\) không thẳng hàng.

Chứng minh bốn điểm \(A,E,O,F\) nằm trên cùng một đường tròn.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:353791

Phương pháp giải

a) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(OBA\).

b) Chứng minh hai tam giác \(OHF\) và \(OFA\) đồng dạng suy ra các góc tương ứng bằng nhau.

Từ đó sử dụng dáu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp để chứng minh tứ giác \(OEAF\) nội tiếp.

Giải chi tiết

a) Vì \(AB\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) , \(B\) là tiếp điểm.

\( \Rightarrow AB \bot OB\)

\( \Rightarrow \Delta OBA\) vuông tại B.

Lại có: \(OB = OC \Rightarrow O\) nằm trên trung trực của \(BC\).

\(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow A\) nằm trên trung trực của \(BC\).

Do đó \(AO\) là trung trực của \(BC\) hay \(AO \bot BC\) tại \(H\)\( \Rightarrow BH \bot OA\)

\( \Rightarrow O{B^2} = OH.OA\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông \(OBA\))

Vậy: \(O{B^2} = OH.OA\)(đpcm).

b) Theo câu a) \(O{B^2} = OH.OA \Rightarrow \frac{{OB}}{{OH}} = \frac{{OA}}{{OB}}\)

Mà \(OB = OF\) (cùng bằng bán kính) \( \Rightarrow \frac{{OF}}{{OH}} = \frac{{OA}}{{OF}}\)

Xét \(\Delta OHF\) và \(\Delta OFA\) có:

\(\angle O\,\,\,\,chung\)

\(\frac{{OF}}{{OH}} = \frac{{OA}}{{OF}}\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta OHF \sim \Delta OFA\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle OAF = \angle OFH = \angle OFE\,\,\left( 1 \right)\) (góc tương ứng)

Mà tam giác \(OEF\) cân tại \(O\) \( \Rightarrow \angle OEF = \angle OFE\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\angle OEF = \angle OAF\left( { = \angle OFE} \right)\)

Xét tứ giác \(AEOF\) có \(\angle OEF = \angle OAF\left( {cmt} \right)\)\( \Rightarrow \) tứ giác \(AEOF\) nội tiếp (tứ giác có hai đinh kề cùng nhìn một cạnh các góc bằng nhau)

Hay bốn điểm \(A,O,E,F\) cùng thuộc một đường tròn (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link